Considere o operador linear T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(x+y, x-y).
(a) Escreva a matriz [T] desse operador em relação à base canônica.
(b) Escreva pT(lambda)=det([T]-lambda 1)𝟙, o polinômio característico de T. Qual o grau desse polinômio, na variável lambda ?
(c) Obtenha as raízes de pT(lambda), os autovalores de T. Qual a multiplicidade algébrica de cada raiz?
(d) Para cada autovalor lambda obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores v associados a lambda pela equação T(v)=lambda v.
(e) Quantos autovetores L.I. estão associados a cada autovalor? Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor. Compare com a multiplicidade algébrica.
(f) O conjunto B de autovetores que você encontrou forma uma base de R^2 ? Se sim, escreva a matriz mudança de base de B para a base canônica: [I]C^B.
(g) Se B for base, escreva [T]B, a matriz de T na base B.

Passo 1

O enunciado define o operador linear Tcolon R^2toR^2 por
T(x,y) = (,x+y,;x-y,)
e pede:
– (a) a matriz de T na base canônica,
– (b) o polinômio característico pT(lambda) e seu grau,
– (c) as raízes de pT (autovalores) e suas multiplicidades algébricas,
– (d) os autovetores associados a cada autovalor,
– (e) as multiplicidades geométricas e comparação com as algébricas,
– (f) ver se o conjunto de autovetores forma base e escrever a matriz de mudança de base de B para a base canônica,
– (g) escrever a matriz de T na base B.
Matérias usadas: construção de matriz de um operador, determinante, resolução de det(A-lambda I)=0, espaços próprios e diagonalização.

Passo 2

(a) Para achar [T] na base canônica e1,e2, aplicamos T em e1=(1,0) e em e2=(0,1):
T(e1) = T(1,0) = (1+0,,1-0) = (1,1), T(e2) = T(0,1) = (0+1,,0-1) = (1,-1)
As colunas de [T] são as coordenadas desses vetores, logo
[T] ;=; 1 & 1 1 & -1

Passo 3

(b) O polinômio característico é
pT(lambda) = det!l([T]-lambda Ir) = det 1-lambda & 1 1 & -1-lambda = (1-lambda)(-1-lambda) - 1 = lambda^2 - 2
O grau de pT(lambda) na variável lambda é 2.

Passo 4

(c) As raízes de lambda^2-2=0 são
lambda = pmraiz2
Cada raiz tem multiplicidade algébrica igual a 1, pois o fator (lambda-raiz2) e (lambda+raiz2) aparecem cada um numa única cópia.

Passo 5

(d) Para cada resolvemos .\n\nPara :\n\nUm autovetor é\n\n\nPara :\n\nUm autovetor é\n]

Passo 6

(e) Cada autovalor tem exatamente um autovetor (até escala) independente, logo a multiplicidade geométrica de cada um é 1. Como a multiplicidade algébrica também era 1, temos multiplicidade geométrica igual à algébrica para ambos.

Passo 7

(f) Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes em R^2, formam uma base B. A matriz de mudança de base de B para a base canônica C tem colunas dadas pelas coordenadas de v1,v2 em C:
[I]C^B = 1 & 1 raiz2-1 & -(1+raiz2)

Passo 8

(g) Na base B, T fica diagonal com os autovalores na diagonal:
[T]B = raiz2 & 0 0 & -raiz2

Resposta

(a) [T] = 1&11&-1
(b) pT(lambda)=lambda^2-2, grau 2.
(c) lambda1=raiz2,;lambda2=-raiz2, cada um com multiplicidade algébrica 1.
(d) Para lambda=raiz2, v1=(1,raiz2-1); para lambda=-raiz2, v2=(1,-(1+raiz2)).
(e) Multiplicidade geométrica 1 para cada autovalor (igual à algébrica).
(f) B=v1,v2 é base e
[I]C^B =1&1raiz2-1&-(1+raiz2)
(g) [T]B=raiz2&00&-raiz2

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