Considere o operador linear dado por .
(a) Escreva a matriz desse operador em relação à base canônica.
(b) Escreva , o polinômio característico de . Qual o grau desse polinômio, na variável ?
(c) Obtenha as raízes de , os autovalores de . Qual a multiplicidade algébrica de cada raiz?
(d) Para cada autovalor obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores associados a pela equação .
(e) Quantos autovetores L.I. estão associados a cada autovalor? Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor. Compare com a multiplicidade algébrica.
(f) O conjunto de autovetores que você encontrou forma uma base de ? Se sim, escreva a matriz mudança de base de para a base canônica: .
(g) Se for base, escreva , a matriz de na base .
Passo 1
O enunciado define o operador linear por
e pede:
– (a) a matriz de na base canônica,
– (b) o polinômio característico e seu grau,
– (c) as raízes de (autovalores) e suas multiplicidades algébricas,
– (d) os autovetores associados a cada autovalor,
– (e) as multiplicidades geométricas e comparação com as algébricas,
– (f) ver se o conjunto de autovetores forma base e escrever a matriz de mudança de base de para a base canônica,
– (g) escrever a matriz de na base .
Matérias usadas: construção de matriz de um operador, determinante, resolução de , espaços próprios e diagonalização.
Passo 2
(a) Para achar na base canônica , aplicamos em e em :
As colunas de são as coordenadas desses vetores, logo
Cada raiz tem multiplicidade algébrica igual a 1, pois o fator (lambda-raiz2) e (lambda+raiz2) aparecem cada um numa única cópia.
Passo 5
(d) Para cada resolvemos .\n\nPara :\n\nUm autovetor é\n\n\nPara :\n\nUm autovetor é\n]
Passo 6
(e) Cada autovalor tem exatamente um autovetor (até escala) independente, logo a multiplicidade geométrica de cada um é 1. Como a multiplicidade algébrica também era 1, temos multiplicidade geométrica igual à algébrica para ambos.
Passo 7
(f) Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes em R^2, formam uma base B. A matriz de mudança de base de B para a base canônica C tem colunas dadas pelas coordenadas de v1,v2 em C:
[I]C^B = 1 & 1 raiz2-1 & -(1+raiz2)
Passo 8
(g) Na base B, T fica diagonal com os autovalores na diagonal:
[T]B = raiz2 & 0 0 & -raiz2
Resposta
(a) [T] = 1&11&-1
(b) pT(lambda)=lambda^2-2, grau 2.
(c) lambda1=raiz2,;lambda2=-raiz2, cada um com multiplicidade algébrica 1.
(d) Para lambda=raiz2, v1=(1,raiz2-1); para lambda=-raiz2, v2=(1,-(1+raiz2)).
(e) Multiplicidade geométrica 1 para cada autovalor (igual à algébrica).
(f) B=v1,v2 é base e [I]C^B =1&1raiz2-1&-(1+raiz2)
(g) [T]B=raiz2&00&-raiz2