Considere o operador linear dado por .
(a) Escreva a matriz [ ] desse operador em relação à base canônica.
(b) Escreva , o polinômio característico de . Qual o grau desse polinômio, na variável ?
(c) Obtenha as raízes de , os autovalores de . Qual a multiplicidade algébrica de cada raiz?
(d) Para cada autovalor obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores associados a pela equação .
(e) Quantos autovetores L.I. estão associados a cada autovalor? Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor. Compare com a multiplicidade algébrica.
(f) O conjunto de autovetores que você encontrou forma uma base de ? Se sim, escreva a matriz mudança de base de para a base canônica: .
(g) Se for base, escreva , a matriz de na base .
Passo 1
O enunciado define o operador linear por
O conteúdo que vamos usar inclui:
– Escrita da matriz de na base canônica.
– Cálculo do polinômio característico .
– Identificação de autovalores (raízes do polinômio) e suas multiplicidades algébricas.
– Resolução dos subespaços próprios para obter autovetores e suas multiplicidades geométricas.
– Verificação de diagonalizabilidade e construção da matriz de mudança de base.
Passo 2
Para achar a matriz de na base canônica , computamos as colunas
Cada raiz aparece uma vez no fatoramento, logo cada uma tem multiplicidade algébrica igual a 1.
Passo 5
Para , resolvemos :
Autovetores são .
Para , dá
isto é .
Para , dá
isto é .
Passo 6
Cada autovalor tem multiplicidade geométrica igual à dimensão do respetivo subespaço próprio. Aqui cada um dos três subespaços é unidimensional, então as mult. geom. coincidem com as mult. alg., todas iguais a 1. Como as somas das geom. mult. totalizam 3, T é diagonalizável.
Ela é formada por 3 vetores L.I. em R^3, logo é base. A matriz de mudança de base de B para a canônica C é
[I]C^B = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1
cuja j-ésima coluna é o vetor vj em coordenadas canônicas.
Passo 8
Na base B, T age de forma diagonal, pois cada vj é autovetor. Assim
[T]B = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 ,
com as entradas na diagonal sendo os autovalores na ordem de B.
Resposta
(a) [T]C=tfrac12 & -1 & tfrac320 & 1 & 0tfrac32 & -1 & tfrac12
(b) pT(lambda)=det([T]C-lambda I)=(1-lambda)(lambda-2)(lambda+1), de grau 3.
(c) Autovalores: lambda=1,2,-1, cada um com multiplicidade algébrica 1.
(d) Subespaços próprios e vetores:
– lambda=1: span(1,1,1).
– lambda=2: span(1,0,1).
– lambda=-1: span(1,0,-1).
(e) Em cada caso a multiplicidade geométrica é 1, igual à algébrica.
(f) Sim, B=(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1) é base.