Considere o operador linear T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(12 x-y+32 z, y, 32 x-y+12 z).
(a) Escreva a matriz [ T ] desse operador em relação à base canônica.
(b) Escreva pT(lambda)=det([T]-lambda 1)𝟙, o polinômio característico de T. Qual o grau desse polinômio, na variável lambda ?
(c) Obtenha as raízes de pT(lambda), os autovalores de T. Qual a multiplicidade algébrica de cada raiz?
(d) Para cada autovalor lambda obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores v associados a lambda pela equação T(v)=lambda v.
(e) Quantos autovetores L.I. estão associados a cada autovalor? Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor. Compare com a multiplicidade algébrica.
(f) O conjunto B de autovetores que você encontrou forma uma base de R^3 ? Se sim, escreva a matriz mudança de base de B para a base canônica: [I]C^B.
(g) Se B for base, escreva [T]B, a matriz de T na base B.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:R^3toR^3 por
T(x,y,z)=l(tfrac12x - y + tfrac32z,;y,;tfrac32x - y + tfrac12zr)
O conteúdo que vamos usar inclui:
– Escrita da matriz de T na base canônica.
– Cálculo do polinômio característico det([T]-lambda I).
– Identificação de autovalores (raízes do polinômio) e suas multiplicidades algébricas.
– Resolução dos subespaços próprios para obter autovetores e suas multiplicidades geométricas.
– Verificação de diagonalizabilidade e construção da matriz de mudança de base.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica C=e1,e2,e3, computamos as colunas
T(e1)=T(1,0,0)=l(tfrac12,0,tfrac32r), T(e2)=T(0,1,0)=(-1,1,-1), T(e3)=T(0,0,1)=l(tfrac32,0,tfrac12r)
Logo
[T]C = A = tfrac12 & -1 & tfrac32 0 & 1 & 0 tfrac32 & -1 & tfrac12

Passo 3

O polinômio característico é
pT(lambda)=detl(A - lambda Ir) =det tfrac12-lambda & -1 & tfrac32 0 & 1-lambda & 0 tfrac32 & -1 & tfrac12-lambda
Como a segunda linha só tem entrada não nula em (2,2), vemos
pT(lambda) =(1-lambda), det tfrac12-lambda & tfrac32 tfrac32 & tfrac12-lambda =(1-lambda)l((tfrac12-lambda)^2-(tfrac32)^2r)
Expandindo,
(tfrac12-lambda)^2-tfrac94 =lambda^2-lambda-2 =(lambda-2)(lambda+1),
portanto
pT(lambda)=(1-lambda),(lambda-2),(lambda+1)
Esse polinômio é de grau 3.

Passo 4

As raízes são as soluções de pT(lambda)=0:
1-lambda=0implieslambda=1, lambda-2=0implieslambda=2, lambda+1=0implieslambda=-1
Cada raiz aparece uma vez no fatoramento, logo cada uma tem multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 5

Para , resolvemos :
Autovetores são .
Para ,
isto é .
Para ,
isto é .

Passo 6

Cada autovalor tem multiplicidade geométrica igual à dimensão do respetivo subespaço próprio. Aqui cada um dos três subespaços é unidimensional, então as mult. geom. coincidem com as mult. alg., todas iguais a 1. Como as somas das geom. mult. totalizam 3, T é diagonalizável.

Passo 7

Escolhemos a base de autovetores B=v1,v2,v3 com
v1=(1,1,1);(lambda=1), v2=(1,0,1);(lambda=2), v3=(1,0,-1);(lambda=-1)
Ela é formada por 3 vetores L.I. em R^3, logo é base. A matriz de mudança de base de B para a canônica C é
[I]C^B = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1
cuja j-ésima coluna é o vetor vj em coordenadas canônicas.

Passo 8

Na base B, T age de forma diagonal, pois cada vj é autovetor. Assim
[T]B = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 ,
com as entradas na diagonal sendo os autovalores na ordem de B.

Resposta

(a) [T]C=tfrac12 & -1 & tfrac320 & 1 & 0tfrac32 & -1 & tfrac12
(b) pT(lambda)=det([T]C-lambda I)=(1-lambda)(lambda-2)(lambda+1), de grau 3.
(c) Autovalores: lambda=1,2,-1, cada um com multiplicidade algébrica 1.
(d) Subespaços próprios e vetores:
lambda=1: span(1,1,1).
lambda=2: span(1,0,1).
lambda=-1: span(1,0,-1).
(e) Em cada caso a multiplicidade geométrica é 1, igual à algébrica.
(f) Sim, B=(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1) é base.
[I]C^B = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1
(g) Em B,
[T]B=1&0&00&2&00&0&-1

Exercícios relacionados