Seja
um espaço vetorial sobre
com produto interno. Sejam
e
isometrias.
a) Mostre que
e
também são isometrias.
b) Seja
. Dados
e
vetores não nulos, então mostre que o ângulo entre
e
é igual ao ângulo entre
e
.
c) Mostre que se
é uma transformação linear dada por
, em que
é uma matriz unitária (
), então
é uma isometria no produto interno
.
a) Mostre que
b) Seja
c) Mostre que se
Passo 1
O enunciado considera um espaço com produto interno
sobre
e duas isometrias
, ou seja, para todo
vale
Temos três itens:
a) Mostrar que e
são isometrias.
b) No caso , provar que a aplicação de
preserva o ângulo entre vetores.
c) No espaço com
, verificar que
é isometria quando
é unitária.
a) Mostrar que
b) No caso
c) No espaço
Passo 2
Mostrar que
é isometria. Para quaisquer
,
Logo
, ou seja,
é isometria.
Passo 3
Mostrar que
é isometria. Como
é isometria e invertível, para quaisquer
escreva
e
. Então
Assim
, mostrando que
também preserva o produto interno.
Passo 4
Preservação do ângulo (
). Sejam
. O ângulo
entre
e
satisfaz
Como
é isometria,
,
e
. Logo
portanto o ângulo
entre
e
coincide com
.
Passo 5
Caso
com
e
para
unitária (
). Então, para quaisquer
,
Logo
preserva o produto interno e é isometria.
Resposta
a) Tanto
quanto
são isometrias porque preservam o produto interno.
b) Sobre ,
é igual a
para
, portanto o ângulo é preservado.
c) Em com
, a aplicação
com
unitária satisfaz
,
logo é isometria.
b) Sobre
c) Em
logo é isometria.