Seja V um espaço vetorial sobre F com produto interno. Sejam T: V V e S: V V isometrias.
a) Mostre que S circ T: V V e T^-1: V V também são isometrias.
b) Seja F=R. Dados u e v in V vetores não nulos, então mostre que o ângulo entre u e v é igual ao ângulo entre T(u) e T(v).
c) Mostre que se T: Mn(C) Mn(C) é uma transformação linear dada por T(A)=A M, em que M é uma matriz unitária ( M^* M=M M^*=In ), então T é uma isometria no produto interno lang<= A, Brang<==Tr(A B^*).

Passo 1

O enunciado considera um espaço com produto interno V sobre F e duas isometrias T,S:Vto V, ou seja, para todo x,yin V vale
lang<= T(x),T(y)rang<= = lang<= x,yrang<= e lang<= S(x),S(y)rang<= = lang<= x,yrang<=
Temos três itens:
a) Mostrar que Scirc T e T^-1 são isometrias.
b) No caso F=R, provar que a aplicação de T preserva o ângulo entre vetores.
c) No espaço Mn(C) com lang<= A,Brang<==Tr(A,B^*), verificar que T(A)=A,M é isometria quando M é unitária.

Passo 2

Mostrar que Scirc T é isometria. Para quaisquer x,yin V,
lang<= (Scirc T)(x),,(Scirc T)(y)rang<= =lang<= Sl(T(x)r),,Sl(T(y)r)rang<= =lang<= T(x),T(y)rang<= =lang<= x,yrang<=
Logo lang<= (Scirc T)(x),(Scirc T)(y)rang<==lang<= x,yrang<=, ou seja, Scirc T é isometria.

Passo 3

Mostrar que T^-1 é isometria. Como T é isometria e invertível, para quaisquer u,vin V escreva x=T^-1(u) e y=T^-1(v). Então
lang<= T^-1(u),T^-1(v)rang<= =lang<= x,yrang<= =lang<= T(x),T(y)rang<= =lang<= u,vrang<=
Assim lang<= T^-1(u),T^-1(v)rang<==lang<= u,vrang<=, mostrando que T^-1 também preserva o produto interno.

Passo 4

Preservação do ângulo ( F=R). Sejam u,vneq0. O ângulo theta entre u e v satisfaz
costheta =lang<= u,vrang<=|u|,|v|
Como T é isometria, |T(u)|=|u|, |T(v)|=|v| e lang<= T(u),T(v)rang<==lang<= u,vrang<=. Logo
costheta' =lang<= T(u),T(v)rang<=|T(u)|,|T(v)| =lang<= u,vrang<=|u|,|v| =costheta,
portanto o ângulo theta' entre T(u) e T(v) coincide com theta.

Passo 5

Caso Mn(C) com lang<= A,Brang<==Tr(A,B^*) e T(A)=A,M para M unitária ( M^*M=I). Então, para quaisquer A,B,
lang<= T(A),T(B)rang<= =Trl((A,M),(B,M)^*r) =Trl(A,M,M^*,B^*r) =Tr(A,B^*) =lang<= A,Brang<=
Logo T preserva o produto interno e é isometria.

Resposta

a) Tanto Scirc T quanto T^-1 são isometrias porque preservam o produto interno.
b) Sobre R, costheta=lang<= u,vrang<=|u||v| é igual a costheta' para T(u),T(v), portanto o ângulo é preservado.
c) Em Mn(C) com lang<= A,Brang<==Tr(A,B^*), a aplicação T(A)=A,M com M unitária satisfaz
lang<= T(A),T(B)rang<==lang<= A,Brang<=,
logo é isometria.

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