Considere o operador linear
dado por
. Encontre os autovalores e autovetores de T.
Passo 1
O enunciado define um operador linear
por
Queremos achar os autovalores
e, para cada
, os vetores
tais que
Para isso, vamos:
- Representar
por uma matriz na base canônica. - Determinar o polinômio característico
. - Encontrar as raízes
. - Para cada
, resolver .
Passo 2
Na base canônica
, temos
Logo a matriz de
é
O polinômio característico é
Passo 3
Resolvendo
lambda^2 - 1 = 0 , obtemos as raízes
Passo 4
Para
, resolvemos
Isso dá
, ou seja
. Assim o espaço próprio é
Passo 5
Para
, resolvemos
Isso dá
, ou seja
. Logo
Resposta
Os autovalores de
T são
O autovetor associado a
lambda1=1 gera o espaço próprio
Span(1,1) e o autovetor associado a
lambda2=-1 gera
Span(1,-1) .