Considere o operador linear T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(y, x). Encontre os autovalores e autovetores de T.

Passo 1

O enunciado define um operador linear Tcolon R^2toR^2 por
T(x,y) = (y,x)
Queremos achar os autovalores lambda e, para cada lambda, os vetores vneq0 tais que
T(v) = lambda,v
Para isso, vamos:
  1. Representar T por uma matriz na base canônica.
  2. Determinar o polinômio característico det(A-lambda I).
  3. Encontrar as raízes lambda.
  4. Para cada lambda, resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica e1=(1,0),e2=(0,1), temos
T(e1) = (0,1)=e2, T(e2)=(1,0)=e1
Logo a matriz de T é
A = 0 & 1 1 & 0
O polinômio característico é
det(A-lambda I) = det! -lambda & 1 1 & -lambda = lambda^2 - 1

Passo 3

Resolvendo lambda^2 - 1 = 0, obtemos as raízes
lambda = 1 e lambda = -1

Passo 4

Para , resolvemos
Isso dá , ou seja . Assim o espaço próprio é

Passo 5

Para , resolvemos
Isso dá , ou seja . Logo

Resposta

Os autovalores de T são
lambda1 = 1, lambda2 = -1
O autovetor associado a lambda1=1 gera o espaço próprio Span(1,1) e o autovetor associado a lambda2=-1 gera Span(1,-1).

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