Determine um operador linear T: R^2 R^2 que satisfaça as seguintes condições:
i. lambda1=2 é um autovalor de T com autovetores associados do tipo v1=(y,-y).
ii. lambda1=-1 é um autovalor de T com autovetores associados do tipo v1=(y, 0).

Passo 1

O enunciado pede um operador linear T:R^2toR^2 que tenha
  • autovalor lambda1=2 com autovetores do tipo (y,-y), isto é, o espaço próprio E2=span(1,-1),
  • autovalor lambda2=-1 com autovetores do tipo (y,0), isto é, E-1=span(1,0).
    Como esses dois autovetores são linearmente independentes, formam base de R^2. Vamos achar a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Escolhemos
v1=(1,-1)in E2, v2=(1,0)in E-1
Pelas propriedades de autovetor,
T(v1)=2,v1=(2,-2), T(v2)=-1,v2=(-1,0)
Agora determinamos T(e1) e T(e2), onde e1=(1,0) e e2=(0,1) são os vetores da base canônica.

Passo 3

Note que e1=(1,0)=v2, logo
T(e1)=T(v2)=(-1,0)
Para e2=(0,1), escrevemos
(0,1)=a,(1,0)+b,(1,-1)=a,v2 + b,v1
Isso dá o sistema a+b=0 e -b=1, cuja solução é b=-1, a=1. Portanto
e2 = 1cdot v2 + (-1)cdot v1,
e assim
T(e2)=1cdot T(v2) + (-1)cdot T(v1) =(-1,0)- (2,-2)=(-3,2)

Passo 4

A matriz de T na base canônica tem colunas T(e1) e T(e2), ou seja,
[T] = -1 & -3 0 & 2
Em outras palavras, para (x,y)inR^2,
T(x,y)=(-x-3y,;2y)

Resposta

A matriz de T na base canônica é
-1 & -3 0 & 2 ,
ou seja,
T(x,y)=(-x-3y,;2y)

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