Determine um operador linear que satisfaça as seguintes condições:
i. é um autovalor de T com autovetores associados do tipo .
ii. é um autovalor de T com autovetores associados do tipo .
Passo 1
O enunciado pede um operador linear que tenha
autovalor com autovetores do tipo , isto é, o espaço próprio ,
autovalor com autovetores do tipo , isto é, .
Como esses dois autovetores são linearmente independentes, formam base de . Vamos achar a matriz de na base canônica.
Passo 2
Escolhemos
Pelas propriedades de autovetor,
Agora determinamos e , onde e são os vetores da base canônica.
Passo 3
Note que , logo
Para , escrevemos
Isso dá o sistema e , cuja solução é , . Portanto
e assim
Passo 4
A matriz de na base canônica tem colunas e , ou seja,