Considere o espaço vetorial R^3 e as bases ordenadas B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e C= (0,0,1),(1,0,0),(0,1,0) para o R^3. Determine as coordenadas v=(2,-1,5) in R^3 com relação as bases B e C.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do vetor v=(2,-1,5) em relação às bases ordenadas
B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
e
C=(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)
em R^3. O assunto é mudança de base e cálculo de coordenadas.

Passo 2

Para a base B, que é a base canônica, cada vetor (x,y,z) já tem como coordenadas (x,y,z). Logo,
[v]B = (2,-1,5)

Passo 3

Na base C definimos
c1=(0,0,1), c2=(1,0,0), c3=(0,1,0)
Procuramos escalares alpha1,alpha2,alpha3 tais que
alpha1c1 + alpha2c2 + alpha3c3 = (2,-1,5)

Passo 4

O lado esquerdo é
alpha1(0,0,1)+alpha2(1,0,0)+alpha3(0,1,0)=(alpha2,alpha3,alpha1),
portanto igualando a (2,-1,5) obtemos
alpha2=2, alpha3=-1, alpha1=5
Assim
[v]C=(alpha1,alpha2,alpha3)=(5,2,-1)

Resposta

[v]B = (2,-1,5)
[v]C = (5,2,-1)

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