Considere o operador linear definido por . Determine:
(a) O polinômio característico de .
(b) Os autovalores de .
(c) Os autovetores associados a cada autovalor de .
Passo 1
O enunciado define o operador linear dado por
isto é, leva cada matriz ao seu transposto. Queremos (a) o polinômio característico de , (b) seus autovalores e (c) uma descrição dos autovetores. Para isso, vamos escolher uma base conveniente de , obter a matriz de nessa base, calcular o polinômio e, a partir dele, extrair autovalores e respectivas autofunções (autovetores).
Passo 2
Escolhemos a base
onde tem um na posição e zeros nas demais entradas. Calculamos
Logo, a matriz de em é
que se decompõe como blocos diagonais l[1r]oplus0&11&0oplusl[1r].
Passo 3
Para obter o polinômio característico, usamos
p(lambda)=detl(lambda I - Mr)
Como o bloco 2times2 é 0&11&0, temos
det(lambda I - M) = (lambda-1)^2, det!lambda & -1-1 & lambda = (lambda-1)^2(lambda^2-1) = (lambda-1)^3(lambda+1)
Os autovetores são as matrizes A que satisfazem T(A)=lambda A, ou seja A^T=lambda A.
Para lambda=1 temos A^T=A, isto é, o subespaço das matrizes simétricas:
lA=a & b b & d:a,b,din Rr,
de dimensão 3.
Para lambda=-1 temos A^T=-A, o subespaço das matrizes antissimétricas (skew):
lA=0 & c -c & 0:cin Rr,
de dimensão 1.
Resposta
(a) .
(b) Os autovalores são (mult. alg. ) e (mult. alg. ).
(c) O autespaço de é o das matrizes simétricas
,
e o autespaço de é o das matrizes antissimétricas .