Considere o operador linear T: M(2,2) M(2,2) definido por T(A)=A^T. Determine:
(a) O polinômio característico de T.
(b) Os autovalores de T.
(c) Os autovetores associados a cada autovalor de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear Tcolon M(2,2)to M(2,2) dado por
T(A)=A^T,
isto é, T leva cada matriz ao seu transposto. Queremos (a) o polinômio característico de T, (b) seus autovalores e (c) uma descrição dos autovetores. Para isso, vamos escolher uma base conveniente de M(2,2), obter a matriz de T nessa base, calcular o polinômio det(lambda I-T) e, a partir dele, extrair autovalores e respectivas autofunções (autovetores).

Passo 2

Escolhemos a base
B = E11,,E12,,E21,,E22,
onde Eij tem um 1 na posição (i,j) e zeros nas demais entradas. Calculamos
T(E11)=E11, T(E12)=E21, T(E21)=E12, T(E22)=E22
Logo, a matriz de T em B é
M = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ,
que se decompõe como blocos diagonais l[1r]oplus0&11&0oplusl[1r].

Passo 3

Para obter o polinômio característico, usamos
p(lambda)=detl(lambda I - Mr)
Como o bloco 2times2 é 0&11&0, temos
det(lambda I - M) = (lambda-1)^2, det!lambda & -1-1 & lambda = (lambda-1)^2(lambda^2-1) = (lambda-1)^3(lambda+1)

Passo 4

Do polinômio
p(lambda)=(lambda-1)^3(lambda+1)
vemos que os autovalores são
lambda1 = 1(mu<iplicidade algébrica 3), lambda2 = -1(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 5

Os autovetores são as matrizes A que satisfazem T(A)=lambda A, ou seja A^T=lambda A.
Para lambda=1 temos A^T=A, isto é, o subespaço das matrizes simétricas:
lA=a & b b & d:a,b,din Rr,
de dimensão 3.
Para lambda=-1 temos A^T=-A, o subespaço das matrizes antissimétricas (skew):
lA=0 & c -c & 0:cin Rr,
de dimensão 1.

Resposta

(a) .
(b) Os autovalores são (mult. alg. ) e (mult. alg. ).
(c) O autespaço de é o das matrizes simétricas
,
e o autespaço de é o das matrizes antissimétricas
.

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