Considere o operador linear definido por . Determine:
(a) O polinômio característico de .
(b) Os autovalores de .
(c) Os autovetores associados a cada autovalor de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem um operador linear definido por . Precisamos descobrir três coisas:
(a) O polinômio característico de ,
(b) Os autovalores de ,
(c) Os autovetores associados a cada autovalor de .
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, determinantes, e a definição de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear por uma matriz. Como mapeia para , a matriz será 2x2. Observando , podemos montar a matriz de :
Aqui, as entradas da matriz são determinadas pelas coordenadas de T(x, y) .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A . O polinômio característico é dado por:
p(lambda) = det(A - lambda I)
onde I é a matriz identidade e lambda é um escalar.