Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(2 y, x). Determine:
(a) O polinômio característico de T.
(b) Os autovalores de T.
(c) Os autovetores associados a cada autovalor de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem um operador linear T: R^2 R^2 definido por T(x, y) = (2y, x) . Precisamos descobrir três coisas:
(a) O polinômio característico de T ,
(b) Os autovalores de T ,
(c) Os autovetores associados a cada autovalor de T .
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, determinantes, e a definição de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear T por uma matriz. Como T mapeia R^2 para R^2 , a matriz será 2x2. Observando T(x, y) = (2y, x) , podemos montar a matriz A de T :
A = 0 & 2 1 & 0
Aqui, as entradas da matriz são determinadas pelas coordenadas de T(x, y) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A . O polinômio característico é dado por:
p(lambda) = det(A - lambda I)
onde I é a matriz identidade e lambda é um escalar.
Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = 0 - lambda & 2 1 & 0 - lambda = -lambda & 2 1 & -lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (2)(1) = lambda^2 - 2
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = lambda^2 - 2

Passo 4

Para encontrar os autovalores de A , precisamos resolver a equação característica p(lambda) = 0 :
lambda^2 - 2 = 0
Resolvendo para lambda :
lambda^2 = 2 implies lambda = raiz2 ou lambda = -raiz2
Então, os autovalores de T são raiz2 e -raiz2 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada lambda , resolvemos (A - lambda I)v = 0 , onde v é o autovetor.
Para lambda = raiz2 :
A - raiz2 I = -raiz2 & 2 1 & -raiz2
Resolvemos o sistema:
-raiz2 v1 + 2 v2 = 0 v1 - raiz2 v2 = 0
Da segunda equação, v1 = raiz2 v2 . Podemos escolher v2 = 1 , então v1 = raiz2 .
Então, um autovetor associado a raiz2 é:
v = raiz2 1
Para lambda = -raiz2 :
A + raiz2 I = raiz2 & 2 1 & raiz2
Resolvemos o sistema:
raiz2 v1 + 2 v2 = 0 v1 + raiz2 v2 = 0
Da segunda equação, v1 = -raiz2 v2 . Podemos escolher v2 = 1 , então v1 = -raiz2 .
Então, um autovetor associado a -raiz2 é:
v = -raiz2 1

Resposta

(a) O polinômio característico de T é p(lambda) = lambda^2 - 2 .
(b) Os autovalores de T são lambda = raiz2 e lambda = -raiz2 .
(c) Os autovetores associados são:
v1 = raiz2 1 e v2 = -raiz2 1

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