Use o algoritmo da inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se ela existir.
D=[rrr-1 & 3 & -4 2 & 4 & 1 -4 & 2 & -9]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar a inversa da matriz D usando o algoritmo da inversão. A matéria que está envolvida aqui é álgebra linear, especificamente o processo de encontrar a matriz inversa. Para isso, vamos precisar saber como manipular matrizes usando operações elementares de linha, como troca de linhas, multiplicação de uma linha por um número e adição de múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz D aumentada com a matriz identidade I . A matriz identidade é uma matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Assim, temos:
[ccc|ccc -1 & 3 & -4 & 1 & 0 & 0 2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 -4 & 2 & -9 & 0 & 0 & 1 ]
A ideia é transformar a parte da esquerda (a matriz D ) na matriz identidade usando operações de linha. As mesmas operações serão aplicadas à parte da direita, que acabarão se tornando a inversa de D .

Passo 3

Vamos começar com a primeira coluna. Nosso objetivo é ter 1 no topo e 0 abaixo. A primeira entrada já está como -1, vamos transformá-la em 1 multiplicando toda a primeira linha por -1:
[ccc|ccc 1 & -3 & 4 & -1 & 0 & 0 2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 -4 & 2 & -9 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Adicionamos 4 vezes a primeira linha à terceira linha.
Fazendo isso:
Segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1
2 - 2(1) = 0, 4 - 2(-3) = 10, 1 - 2(4) = -7
0 - 2(-1) = 2, 1 - 2(0) = 1, 0 - 2(0) = 0
Terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 4 times Linha 1
-4 + 4(1) = 0, 2 + 4(-3) = -10, -9 + 4(4) = 7
0 + 4(-1) = -4, 0 + 4(0) = 0, 1 + 4(0) = 1
A matriz fica assim:
[ccc|ccc 1 & -3 & 4 & -1 & 0 & 0 0 & 10 & -7 & 2 & 1 & 0 0 & -10 & 7 & -4 & 0 & 1 ]

Passo 5

Vamos para a segunda coluna. Queremos que a segunda entrada da segunda linha seja 1. Para isso, dividimos toda a segunda linha por 10:
[ccc|ccc 1 & -3 & 4 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -710 & 15 & 110 & 0 0 & -10 & 7 & -4 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna.
  • Para a primeira linha: adicionamos 3 vezes a segunda linha à primeira linha.
  • Para a terceira linha: adicionamos 10 vezes a segunda linha à terceira linha.
Primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 + 3 times Linha 2
1 + 3(0) = 1, -3 + 3(1) = 0, 4 + 3(-710) = 4 - 2110 = 1910
-1 + 3(15) = -1 + 35 = -25, 0 + 3(110) = 310, 0 + 3(0) = 0
Terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 10 times Linha 2
0 + 10(0) = 0, -10 + 10(1) = 0, 7 + 10(-710) = 7 - 7 = 0
-4 + 10(15) = -4 + 2 = -2, 0 + 10(110) = 1, 1 + 10(0) = 1
A matriz agora fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1910 & -25 & 310 & 0 0 & 1 & -710 & 15 & 110 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 1 ]

Passo 7

Agora, observamos que a terceira linha na parte esquerda é toda zero, o que indica que a matriz D não possui inversa. Para uma matriz ter inversa, ela precisa ser não singular, ou seja, ter determinante diferente de zero. Como chegamos a uma linha de zeros, o determinante é zero e, portanto, D não é invertível.

Resposta

A matriz D não possui inversa, pois seu determinante é zero.

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