Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(2 x+y, y+2 z, 2 y-z)
Exiba a matriz de T na base \beta.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z) = (2x+y,\; y+2z,\; 2y-z).
Pede-se: exibir a matriz de T na base \beta. Vou considerar que a base \beta mencionada é a base canônica de \mathbb{R}^3,
\beta = \{\,e_1=(1,0,0),\; e_2=(0,1,0),\; e_3=(0,0,1)\,\}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
T(x,y,z) = (2x+y,\; y+2z,\; 2y-z).
A tarefa é encontrar a matriz de T relativa à base \beta (isto é, a matriz que representa T quando as coordenadas das entradas e saídas são tomadas na base canônica).

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): para um operador linear em \mathbb{R}^3, a matriz de T na base canônica \beta é obtida calculando T aplicado a cada vetor da base e escrevendo essas imagens como colunas da matriz, na ordem dos vetores da base. Mais formalmente, se \beta=\{e_1,e_2,e_3\}, então a matriz A=[T]_{\beta} tem como j-ésima coluna as coordenadas de T(e_j) em relação a \beta. Aqui as coordenadas em relação à base canônica são simplesmente as próprias componentes do vetor.

Passo 3

Calcular T(e_1). Tomamos e_1=(1,0,0) e usamos a fórmula de T:
T(1,0,0) = (2\cdot 1 + 0,\; 0 + 2\cdot 0,\; 2\cdot 0 - 0).
Efetuando as operações:
T(1,0,0) = (2,\; 0,\; 0).
Portanto, a primeira coluna da matriz será \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular T(e_2). Tomamos e_2=(0,1,0):
T(0,1,0) = (2\cdot 0 + 1,\; 1 + 2\cdot 0,\; 2\cdot 1 - 0).
Efetuando as operações:
T(0,1,0) = (1,\; 1,\; 2).
Portanto, a segunda coluna da matriz será \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular T(e_3). Tomamos e_3=(0,0,1):
T(0,0,1) = (2\cdot 0 + 0,\; 0 + 2\cdot 1,\; 2\cdot 0 - 1).
Efetuando as operações:
T(0,0,1) = (0,\; 2,\; -1).
Portanto, a terceira coluna da matriz será \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 6

Montar a matriz de T na base canônica juntando as colunas obtidas na ordem (T(e_1),T(e_2),T(e_3)). Assim a matriz é
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional): multiplicando esta matriz pela coluna \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} obtemos
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+y\y+2z\\\ 2y-z\end{pmatrix},
que coincide com T(x,y,z), confirmando que a matriz está correta.]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}]

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