Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(2 x+y, y+2 z, 2 y-z)
Calcule a matriz P tal que
D=P^{-1} A P
é a forma diagonal do operador T.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre uma matriz P invertível tal que
D = P^{-1} A P
é uma matriz diagonal, onde A é a matriz do operador linear T dado por
T(x,y,z) = (2x+y,\; y+2z,\; 2y-z).
Informações relevantes fornecidas:
\text{Para todo }(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\; T(x,y,z)=(2x+y,\; y+2z,\; 2y-z).
A tarefa é calcular explicitamente uma matriz P (com entradas em termos de números reais, possivelmente envolvendo \sqrt{5}) cujas colunas sejam vetores próprios de A, de modo que ao conjugarmos A por P obtemos uma matriz diagonal D.
A partir do enunciado já temos que devemos trabalhar com a matriz A associada a T na base canônica; a resolução começa por escrever A e encontrar seus autovalores e autovetores.
Passo 2
Escrever a matriz A na base canônica. Para isso calculamos T aplicado aos vetores canônicos:
Como os três autovalores são distintos, sabemos (teorema) que A é diagonalizável e que existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores. Para diagonalizar, basta encontrar um autovetor não-nulo para cada autovalor e colocar esses autovetores como colunas de P.
Da primeira equação y=0\]. Substituindo nas outras temos \(2z=0 e -3z=0, logo z=0. O componente x é livre (não aparece nas equações), portanto um autovetor associado a \lambda_1=2 é
Da primeira equação y = (s-2)x\]. Substituindo na segunda:
\[2z = (s-1)y = (s-1)(s-2)x.\]
Logo
\[z = \frac{(s-1)(s-2)}{2}\, x.\]
Podemos escolher um valor conveniente para \(x para evitar frações; escolho x=2. Assim:
y = 2(s-2),\qquad z = (s-1)(s-2).
Podemos simplificar z usando s^2=5:
(s-1)(s-2) = s^2 -3s +2 = 5 -3s +2 = 7 - 3s.
Portanto um autovetor associado a \lambda_2=\sqrt{5} é
Montar a matriz P cujas colunas são os autovetores v_1,v_2,v_3 (na mesma ordem em que colocamos os autovalores na diagonal de D). Assim, escolhendo a ordem \lambda_1=2,\;\lambda_2=\sqrt{5},\;\lambda_3=-\sqrt{5}, tomamos