Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(2 x+y, y+2 z, 2 y-z)
Calcule o polinômio característico de T.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(2x+y,\; y+2z,\; 2y-z).
A pergunta é: calcular o polinômio característico de T.
Informações relevantes fornecidas: a definição explícita de T (ou seja, como T age sobre um vetor (x,y,z)); nada mais é dado nem pedido.
Passo 2
Primeiro passo prático: representar T por uma matriz na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\} de \mathbb{R}^{3}. Para lembrar: a coluna j da matriz de T é T(e_{j}), onde e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1).
Para calcular o determinante de uma matriz 3\times3 podemos expandir por cofatores. Note que a primeira coluna tem zeros nas posições 2 e 3, então a expansão fica simples:
p(\lambda)=\det(\lambda I - A)=(\lambda-2)\det\begin{pmatrix}\lambda-1 & -2\\[4pt]-2 & \lambda+1\end{pmatrix}.
Lembre que o determinante de uma 2\times2\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} é ad-bc.]