Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(2 x+y, y+2 z, 2 y-z)
Calcule o polinômio característico de T.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(2x+y,\; y+2z,\; 2y-z).
A pergunta é: calcular o polinômio característico de T.
Informações relevantes fornecidas: a definição explícita de T (ou seja, como T age sobre um vetor (x,y,z)); nada mais é dado nem pedido.

Passo 2

Primeiro passo prático: representar T por uma matriz na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\} de \mathbb{R}^{3}. Para lembrar: a coluna j da matriz de T é T(e_{j}), onde e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1).

Passo 3

Calculemos T(e_{1}), T(e_{2}) e T(e_{3}):
T(e_{1})=T(1,0,0)=(2\cdot1+0,\;0+2\cdot0,\;2\cdot0-0)=(2,0,0),
T(e_{2})=T(0,1,0)=(2\cdot0+1,\;1+2\cdot0,\;2\cdot1-0)=(1,1,2),
T(e_{3})=T(0,0,1)=(2\cdot0+0,\;0+2\cdot1,\;2\cdot0-1)=(0,2,-1).

Passo 4

Formamos a matriz A de T na base canônica colocando essas colunas:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Definição que vamos usar: o polinômio característico de T é o polinômio
p(\lambda)=\det(\lambda I - A),
que é a escolha padrão porque produz um polinômio monico (coeficiente líder 1). Aqui I é a matriz identidade 3\times3.

Passo 6

Calculemos \lambda I - A:
\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & \lambda-1 & -2\\[4pt] 0 & -2 & \lambda+1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Para calcular o determinante de uma matriz 3\times3 podemos expandir por cofatores. Note que a primeira coluna tem zeros nas posições 2 e 3, então a expansão fica simples:
p(\lambda)=\det(\lambda I - A)=(\lambda-2)\det\begin{pmatrix}\lambda-1 & -2\\[4pt]-2 & \lambda+1\end{pmatrix}.
Lembre que o determinante de uma 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} é ad-bc.]

Passo 8

Calculemos o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}\lambda-1 & -2\\[4pt]-2 & \lambda+1\end{pmatrix}=(\lambda-1)(\lambda+1)-(-2)(-2).
Agora desenvolvendo: (\lambda-1)(\lambda+1)=\lambda^{2}-1 e (-2)(-2)=4. Portanto
\det\begin{pmatrix}\lambda-1 & -2\\[4pt]-2 & \lambda+1\end{pmatrix}=\lambda^{2}-1-4=\lambda^{2}-5.]

Passo 9

Substituindo de volta em p(\lambda) obtemos a forma fatorada:
p(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda^{2}-5).
Se for útil, podemos expandir para a forma polinomial monica:
p(\lambda)=\lambda^{3}-2\lambda^{2}-5\lambda+10.

Resposta

(\lambda-2)(\lambda^{2}-5)
\lambda^{3}-2\lambda^{2}-5\lambda+10

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