Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(2 x+y, y+2 z, 2 y-z)
Calcule os autoespaços associados e exiba uma base \beta de autovetores.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(2x+y,\; y+2z,\; 2y-z).
O que se pede:
  • Calcular os autoespaços (isto é, os espaços próprios) associados aos autovalores de T.
  • Exibir uma base \beta composta por autovetores (uma base de vetores próprios).
Informações relevantes dadas:
  • A ação de T sobre um vetor (x,y,z) está explicitamente fornecida pelas três coordenadas acima.
  • Não há mais dados externos; podemos trabalhar na base canônica de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Primeiro representamos T pela sua matriz A na base canônica. Para isso aplicamos T aos vetores da base canônica e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1):
T(e_{1})=T(1,0,0)=(2,0,0),\quad T(e_{2})=(1,1,2),\quad T(e_{3})=(0,2,-1).
As colunas da matriz A são essas imagens, logo
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Lembra do que é autovalor e autovetor: um número \lambda é autovalor se existe vetor não-nulo v tal que Av=\lambda v; equivalently (A-\lambda I)v=0. Para encontrar os autovalores calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Calculemos \det(A-\lambda I). A matriz A-\lambda I é
A-\lambda I=\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1-\lambda & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1-\lambda \end{pmatrix}.
Como a primeira coluna tem zeros em baixo dela, podemos expandir pela primeira coluna:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\[4pt] 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\[4pt] 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(-1-\lambda)-4.
Desenvolvendo (1-\lambda)(-1-\lambda) obtemos
(1-\lambda)(-1-\lambda)=\lambda^{2}-1.
Então
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\[4pt] 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}=\lambda^{2}-1-4=\lambda^{2}-5.
Portanto o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\,(\lambda^{2}-5).
Fatorando \lambda^{2}-5=(\lambda-\sqrt{5})(\lambda+\sqrt{5}), os autovalores são
\lambda_{1}=2,\qquad \lambda_{2}=\sqrt{5},\qquad \lambda_{3}=-\sqrt{5}.]

Passo 4

Agora calculamos o autoespaço correspondente a \lambda_{1}=2\). Resolvemos \((A-2I)v=0\). A matriz \(A-2I\) é \[A-2I=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
Escrevendo as equações para v=(x,y,z):
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z =0 \quad\Rightarrow\quad y=0,\\[4pt] 0\cdot x -1\cdot y +2\cdot z =0 \quad\Rightarrow\quad -y+2z=0,\\[4pt] 0\cdot x +2\cdot y -3\cdot z =0 \quad\Rightarrow\quad 2y-3z=0. \end{cases}
Substituindo y=0\] nas outras equações obtemos \(2z=0 e -3z=0, logo z=0. Não há restrição sobre x (a coluna do x é zero), então
v=(x,0,0)=x(1,0,0),\quad x\in\mathbb{R}.
Portanto o autoespaço associado a \lambda=2 é
E_{2}=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}.
Uma base do autoespaço é \{(1,0,0)\}.]

Passo 5

Agora o caso \lambda_{2}=\sqrt{5}\). Resolvemos \((A-\sqrt{5}I)v=0\). A matriz é \[A-\sqrt{5}I=\begin{pmatrix} 2-\sqrt{5} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1-\sqrt{5} & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1-\sqrt{5} \end{pmatrix}.
As equações para v=(x,y,z) são:
\begin{cases} (2-\sqrt{5})x + y =0,\\[4pt] (1-\sqrt{5})y + 2z =0,\\[4pt] 2y + (-1-\sqrt{5})z =0. \end{cases}
Da primeira equação temos
y=(\sqrt{5}-2)\,x.
Da segunda obtemos
2z=(\sqrt{5}-1)\,y \quad\Rightarrow\quad z=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\,y.
A terceira equação serve para verificar consistência; substituindo z\] na terceira: \[2y+(-1-\sqrt{5})\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}\,y = y\left(2+ \frac{(-1-\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}{2}\right).\] Podemos simplificar o coeficiente dentro do parêntese; usando \(( -1-\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)= -(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=-(5-1)=-4. Então o parêntese fica
2 + \frac{-4}{2}=2-2=0,
logo a terceira equação é satisfeita (isto é esperado, porque \lambda=\sqrt{5} veio do polinômio característico). Portanto os vetores próprios são os não-nulos de
v=(x,\;(\sqrt{5}-2)x,\;\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}(\sqrt{5}-2)x).
Para simplificar a aparência do autovetor, escolhemos y=1 como parâmetro (qualquer escala funciona). Se y=1 então x=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}.Racionalizamos esse inverso:
\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2,
pois (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=5-4=1. Assim com y=1 temos
x=\sqrt{5}+2,\qquad z=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
Multiplicando por 2 para evitar frações, um autovetor conveniente é
v_{+}=(2(\sqrt{5}+2),\;2,\;\sqrt{5}-1)=(2\sqrt{5}+4,\;2,\;\sqrt{5}-1).
Portanto o autoespaço correspondente a \lambda=\sqrt{5} é
E_{\sqrt{5}}=\operatorname{span}\{(2\sqrt{5}+4,\;2,\;\sqrt{5}-1)\}.]

Passo 6

Agora o caso \lambda_{3}=-\sqrt{5}. Procedimento análogo: resolvemos (A+\sqrt{5}I)v=0. A matriz é
A-(-\sqrt{5})I=A+\sqrt{5}I=\begin{pmatrix} 2+\sqrt{5} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1+\sqrt{5} & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1+\sqrt{5} \end{pmatrix},
mas é mais prático repetir o raciocínio simbólico anterior com \lambda=-\sqrt{5}. As equações dão, analogamente,
y=( -\sqrt{5}-2)x=( -(\sqrt{5}+2))x,
ou invertendo a relação como antes (escolhendo y=1),
x=\frac{1}{- \sqrt{5}-2}=\;2-\sqrt{5},
pois \dfrac{1}{-(\sqrt{5}+2)}= -\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}=-(\sqrt{5}-2)=2-\sqrt{5} (usando racionalização análoga). Para z obtemos
z=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}.
Multiplicando por 2 para evitar fração, um autovetor conveniente é
v_{-}=(2(2-\sqrt{5}),\;2,\; -(\sqrt{5}+1))=(4-2\sqrt{5},\;2,\; -\sqrt{5}-1).
Portanto o autoespaço associado a \lambda=-\sqrt{5} é
E_{-\sqrt{5}}=\operatorname{span}\{(4-2\sqrt{5},\;2,\; -\sqrt{5}-1)\}.]

Passo 7

Resumo e independência: os três autovalores \,2,\;\sqrt{5},\;-\sqrt{5}\, são distintos, logo os respectivos autovetores (pertencentes a diferentes autovalores) são linearmente independentes. Assim juntando um gerador não-nulo de cada autoespaço obtemos uma base de autovetores de \mathbb{R}^{3}.
Uma escolha explícita de base de autovetores é
\beta=\Big\{(1,0,0),\; (2\sqrt{5}+4,\;2,\;\sqrt{5}-1),\; (4-2\sqrt{5},\;2,\; -\sqrt{5}-1)\Big\},
onde os três vetores são, respectivamente, autovetores associados a \lambda=2,\;\lambda=\sqrt{5},\;\lambda=-\sqrt{5}.

Resposta

E_{2}=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}
E_{\sqrt{5}}=\operatorname{span}\{(2\sqrt{5}+4,\;2,\;\sqrt{5}-1)\}
E_{-\sqrt{5}}=\operatorname{span}\{(4-2\sqrt{5},\;2,\; -\sqrt{5}-1)\}
\beta=\{(1,0,0),\; (2\sqrt{5}+4,\;2,\;\sqrt{5}-1),\; (4-2\sqrt{5},\;2,\; -\sqrt{5}-1)\}

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