Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(2 x+y-z, x+3 y+z,-x+y+4 z)
(a) Encontre o vetor u tal que T(u)=(1,0,-3).
(b) Determine os vetores fixos por T, isto é, todos os v tais que T(v)=v.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(2x+y-z,\;x+3y+z,\;-x+y+4z).
As perguntas são:
(a) Encontrar um vetor u\in\mathbb{R}^3 tal que T(u)=(1,0,-3).
(b) Determinar todos os vetores v\in\mathbb{R}^3 que são fixos por T, isto é, todos v tais que T(v)=v.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{cases} \text{1ª componente de }T(x,y,z)=2x+y-z,\\[4pt] \text{2ª componente de }T(x,y,z)=x+3y+z,\\[4pt] \text{3ª componente de }T(x,y,z)=-x+y+4z. \end{cases}]
Passo 2
Transformar T em matriz. Qualquer operador linear em coordenadas pode ser representado por uma matriz A tal que T(v)=A v (onde v é escrito como vetor coluna). Extraindo os coeficientes das expressões dadas, a matriz A que representa T na base canônica é
Parte (b): vetores fixos satisfazem T(v)=v. Em forma matricial isso é
A v = v \quad\Longleftrightarrow\quad (A-I)v = 0,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Assim precisamos encontrar o espaço nulo da matriz A-I. Observação conceitual rápida: vetores fixos são exatamente autovetores de A com autovalor 1.