Aqui, cada entrada da diagonal foi reduzida por \lambda; isso é padrão ao formar A-\lambda I.
Passo 3
Agora vou calcular o determinante de A-\lambda I. Importante e muito útil numa prova: se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto das entradas da diagonal. Isso vem de uma propriedade básica do determinante (pode ser provado por expansão de Laplace ou indução). Como a matriz acima é triangular superior, temos
Isso já nos dá o polinômio característico em forma fatorada — muito prático para encontrar raízes.
Passo 4
Para ficar bem claro como expandir esse produto passo a passo (vai que o exercício pede o polinômio em forma expandida): primeiro multiplico os dois primeiros fatores:
(1-\lambda)(3-\lambda)=3-4\lambda+\lambda^2.
Agora multiplico esse resultado por (4-\lambda). Faço termo a termo:
Observação útil para prova: algumas referências definem o polinômio característico como \det(\lambda I-A), que difere por um sinal quando a dimensão é ímpar. Aqui usei \det(A-\lambda I); se preferir a forma monica usual \det(\lambda I-A) ela é
Autovalores são os valores de \lambda que anulam o polinômio característico, ou seja, as raízes da fatoração. Da forma fatorada já vista,
(1-\lambda)(3-\lambda)(4-\lambda)=0
tem soluções \lambda=1, \lambda=3 e \lambda=4. Portanto os autovalores são exatamente esses três números. Cada um aparece uma vez no fatoramento, logo a multiplicidade algébrica de cada um é 1.
Resposta
(a) p_T(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(3-\lambda)(4-\lambda)=-\lambda^{3}+8\lambda^{2}-19\lambda+12.
(b) Os autovalores são \lambda=1,\\ \lambda=3,\\ \lambda=4.