Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear cuja matriz na base canônica é
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right)
Determine:
(a) o polinômio característico de T;
(b) todos os autovalores de T;

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right).
Pede-se:
(a) o polinômio característico de T;
(b) todos os autovalores de T.

Passo 2

Primeiro, lembro a definição que vou usar (explico devagar para você aplicar na prova): o polinômio característico de uma matriz A é
p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade 3\times3 e \lambda é a variável escalar. A matriz A-\lambda I é
A-\lambda I=\left(\begin{array}{ccc} 1-\lambda & 2 & 1 \\\\ 0 & 3-\lambda & 2 \\\\ 0 & 0 & 4-\lambda \end{array}\right).
Aqui, cada entrada da diagonal foi reduzida por \lambda; isso é padrão ao formar A-\lambda I.

Passo 3

Agora vou calcular o determinante de A-\lambda I. Importante e muito útil numa prova: se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto das entradas da diagonal. Isso vem de uma propriedade básica do determinante (pode ser provado por expansão de Laplace ou indução). Como a matriz acima é triangular superior, temos
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(3-\lambda)(4-\lambda).
Isso já nos dá o polinômio característico em forma fatorada — muito prático para encontrar raízes.

Passo 4

Para ficar bem claro como expandir esse produto passo a passo (vai que o exercício pede o polinômio em forma expandida): primeiro multiplico os dois primeiros fatores:
(1-\lambda)(3-\lambda)=3-4\lambda+\lambda^2.
Agora multiplico esse resultado por (4-\lambda). Faço termo a termo:
(3-4\lambda+\lambda^2)(4-\lambda)=3\cdot4+3\cdot(-\lambda)+(-4\lambda)\cdot4+(-4\lambda)\cdot(-\lambda)+\lambda^2\cdot4+\lambda^2\cdot(-\lambda).
Calculando cada produto:
3\cdot4=12,\quad 3\cdot(-\lambda)=-3\lambda,\quad (-4\lambda)\cdot4=-16\lambda,
(-4\lambda)\cdot(-\lambda)=4\lambda^2,\quad \lambda^2\cdot4=4\lambda^2,\quad \lambda^2\cdot(-\lambda)=-\lambda^3.
Somando os termos semelhantes:
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+8\lambda^2-19\lambda+12.
Observação útil para prova: algumas referências definem o polinômio característico como \det(\lambda I-A), que difere por um sinal quando a dimensão é ímpar. Aqui usei \det(A-\lambda I); se preferir a forma monica usual \det(\lambda I-A) ela é
(\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-4)=\lambda^3-8\lambda^2+19\lambda-12.

Passo 5

Autovalores são os valores de \lambda que anulam o polinômio característico, ou seja, as raízes da fatoração. Da forma fatorada já vista,
(1-\lambda)(3-\lambda)(4-\lambda)=0
tem soluções \lambda=1, \lambda=3 e \lambda=4. Portanto os autovalores são exatamente esses três números. Cada um aparece uma vez no fatoramento, logo a multiplicidade algébrica de cada um é 1.

Resposta

(a) p_T(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(3-\lambda)(4-\lambda)=-\lambda^{3}+8\lambda^{2}-19\lambda+12.
(b) Os autovalores são \lambda=1,\\ \lambda=3,\\ \lambda=4.

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