Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por
T(x, y)=(x+a y,-x+b y)
onde a, b \in \mathbb{R}. Determine para quais valores de a e b a transformação possui dois autovalores distintos.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(x+a y,\,-x+b y)
com a,b\in\mathbb{R}. A pergunta é: para quais valores de a e b a transformação possui dois autovalores distintos?\n
As informações relevantes que temos são: a regra de T (acima) e que estamos trabalhando sobre \mathbb{R}^2. Não há outras condições no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo prático: representar T por sua matriz na base canônica. Se (x,y) é o vetor coluna, a aplicação corresponde à multiplicação por uma matriz A. Observando as coordenadas,
T(x,y)=\begin{pmatrix}x+a y\\[4pt]-x+b y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & a\\[4pt]-1 & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Portanto a matriz associada é
A=\begin{pmatrix}1 & a\\[4pt]-1 & b\end{pmatrix}.]

Passo 3

Lembrete didático: \emph{o que é um autovalor?} Um número \lambda\in\mathbb{C} é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que Av=\lambda v. Isso é equivalente a dizer que a matriz A-\lambda I é singular, ou seja,
\det(A-\lambda I)=0.
Essa equação em \lambda chama-se polinômio característico; para uma matriz 2\times2 ela é um polinômio quadrático em \lambda. Dois autovalores distintos significam que as raízes desse quadrático são diferentes.

Passo 4

Vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Subtraindo \lambda na diagonal,
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & a\\[4pt]-1 & b-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(b-\lambda)-a(-1).
Calculemos passo a passo:
(1-\lambda)(b-\lambda)=1\cdot b -1\cdot\lambda -\lambda\cdot b +\lambda^2 = \lambda^2-(1+b)\lambda + b.
Somando o termo +a (porque -a(-1)=+a) obtemos o polinômio característico
\boxed{\,p(\lambda)=\lambda^2-(1+b)\lambda+(a+b)\,}.]

Passo 5

Agora precisamos das condições para que esse quadrático tenha duas raízes distintas (no sentido que escolhermos). Para um polinômio quadrático geral \lambda^2 + c\lambda + d, o discriminante é \Delta = c^2 - 4d. As raízes são distintas e reais se, e somente se, \Delta>0; se \Delta=0 há raiz dupla; se \Delta<0 as raízes são complexas conjugadas (distintas, mas não reais).\n
No nosso caso, c=-(1+b) e d=a+b. Portanto o discriminante é
\Delta=(1+b)^2-4(a+b).
Simplificando este termo:
\Delta=(1+b)^2-4(a+b)=b^2+2b+1-4a-4b=b^2-2b+1-4a=(b-1)^2-4a.

Passo 6

Interpretação prática (escolha de método): como o enunciado trabalha com T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, o mais comum em perguntas desse tipo é pedir por dois autovalores distintos \emph{reais}. Por isso vou dar a condição para autovalores reais distintos. Se você precisasse apenas de autovalores distintos no corpo complexo, então a condição é simplesmente \Delta\neq0; explico essa diferença no próximo passo.\n
Para duas raízes reais e distintas exigimos \Delta>0. Assim
(b-1)^2-4a>0.
Isolando a,
4a<(b-1)^2\quad\Longleftrightarrow\quad a<\frac{(b-1)^2}{4}.

Passo 7

Comentário adicional (caso você queira a versão em \mathbb{C}): se aceitarmos autovalores complexos, o requisito “dois autovalores distintos” é satisfeito sempre que as raízes do quadrático forem diferentes como elementos de \mathbb{C}, isto é, sempre que \Delta\neq0. Assim, sobre \mathbb{C} a condição seria
(b-1)^2-4a\neq0\quad\Longleftrightarrow\quad a\neq\frac{(b-1)^2}{4}.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar: tome a=0 e b=0. Então
\Delta=(b-1)^2-4a=(0-1)^2-0=1>0,
logo há dois autovalores reais distintos (podemos calculá-los se quisermos). Já se a=1 e b=1 então
\Delta=(1-1)^2-4\cdot1=0-4=-4<0,
logo não há dois autovalores reais distintos (há um par de autovalores complexos conjugados).

Resposta

Para dois autovalores reais distintos: \displaystyle a<\frac{(b-1)^2}{4}.
Se a pergunta permite autovalores complexos (isto é, trabalhando sobre \mathbb{C}): \displaystyle a\neq\frac{(b-1)^2}{4}.

Exercícios relacionados