Seja
definida por
onde
. Determine para quais valores de
e
a transformação possui dois autovalores distintos.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
com
. A pergunta é: para quais valores de
e
a transformação possui dois autovalores distintos?\n
As informações relevantes que temos são: a regra de (acima) e que estamos trabalhando sobre
. Não há outras condições no enunciado.
As informações relevantes que temos são: a regra de
Passo 2
Primeiro passo prático: representar
por sua matriz na base canônica. Se
é o vetor coluna, a aplicação corresponde à multiplicação por uma matriz
. Observando as coordenadas,
Portanto a matriz associada é
Passo 3
Lembrete didático: \emph{o que é um autovalor?} Um número
é autovalor de
se existe vetor não-nulo
tal que
. Isso é equivalente a dizer que a matriz
é singular, ou seja,
Essa equação em
chama-se polinômio característico; para uma matriz
ela é um polinômio quadrático em
. Dois autovalores distintos significam que as raízes desse quadrático são diferentes.
Passo 4
Vamos calcular o polinômio característico
. Subtraindo
na diagonal,
O determinante é
Calculemos passo a passo:
Somando o termo
(porque
) obtemos o polinômio característico
Passo 5
Agora precisamos das condições para que esse quadrático tenha duas raízes distintas (no sentido que escolhermos). Para um polinômio quadrático geral
, o discriminante é
. As raízes são distintas e reais se, e somente se,
; se
há raiz dupla; se
as raízes são complexas conjugadas (distintas, mas não reais).\n
No nosso caso, e
. Portanto o discriminante é
No nosso caso,
Simplificando este termo:
Passo 6
Interpretação prática (escolha de método): como o enunciado trabalha com
, o mais comum em perguntas desse tipo é pedir por dois autovalores distintos \emph{reais}. Por isso vou dar a condição para autovalores reais distintos. Se você precisasse apenas de autovalores distintos no corpo complexo, então a condição é simplesmente
; explico essa diferença no próximo passo.\n
Para duas raízes reais e distintas exigimos . Assim
Para duas raízes reais e distintas exigimos
Isolando
,
Passo 7
Comentário adicional (caso você queira a versão em
): se aceitarmos autovalores complexos, o requisito “dois autovalores distintos” é satisfeito sempre que as raízes do quadrático forem diferentes como elementos de
, isto é, sempre que
. Assim, sobre
a condição seria
Passo 8
Exemplo rápido para fixar: tome
e
. Então
logo há dois autovalores reais distintos (podemos calculá-los se quisermos). Já se
e
então
logo não há dois autovalores reais distintos (há um par de autovalores complexos conjugados).
Resposta
Para dois autovalores reais distintos:
Se a pergunta permite autovalores complexos (isto é, trabalhando sobre
):