Considere o operador linear dado por .
(a) Escreva a matriz desse operador em relação à base canônica .
(b) Escreva , o polinômio característico de . Qual o grau desse polinômio, na variável ?
(c) Obtenha as raízes de , os autovalores de . Qual a multiplicidade algébrica de cada raiz?
(d) Para cada autovalor obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores associados a pela equação . Note que resolvendo esse sistema linear, você oberá as coordenadas, [v], do autovetor. Após obter as coordenadas, escreva o polinômio explicitamente.
(e) Quantos autovetores L.I. estão associados a cada autovalor? Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor. Compare com a multiplicidade algébrica.
(f) O conjunto de autovetores que você encontrou forma uma base de ? Se sim, escreva a matriz mudança de base de para a base canônica: .
(g) Se for base, escreva , a matriz de na base .
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede:
(a) a matriz de na base canônica ,
(b) o polinômio característico e seu grau,
(c) as raízes de e suas multiplicidades algébricas,
(d) para cada autovalor , um conjunto L.I. de autovetores,
(e) as multiplicidades geométricas e comparação com as algébricas,
(f) se esses autovetores formam base e a matriz de mudança de base ,
(g) a matriz de nessa base de autovetores.
todas com multiplicidade algébrica igual a 1 (pois cada fator é simples).
Passo 5
Para lambda=1 resolvemos ([T]-I),[x,y,z]^T=0. O sistema reduz a
-x-2y+3z=0, 3x-2y-z=0
que implica y=z e x=z. Assim os vetores são (z,z,z)=z(1,1,1). Em polinômios, um autovetor é ,1+t+t^2
Para lambda=2 temos ([T]-2I)[x,y,z]^T=0 que dá
-,tfrac32x -y +tfrac32z=0, -y=0,
logo y=0, x=z. Vetores (z,0,z)=z(1,0,1), polinômio ,1+t^2
Para lambda=-1 resolvemos ([T]+I),[x,y,z]^T=0, obtendo
tfrac32x -y +tfrac32z=0, 2y=0,
logo y=0, x=-z. Um gerador é (1,0,-1), polinômio ,1 - t^2
Passo 6
Cada autovalor tem exatamente um autovetor L.I. (dimensão do espaço próprio =1), ou seja multiplicidade geométrica 1. Como as multiplicidades algébricas também são 1, temos espaço de autovetores de dimensão igual à multiplicidade algébrica em cada caso.
Passo 7
Os autovetores formam a base
B=,1+t+t^2,;1+t^2,;1-t^2
A matriz de mudança de base de B para a canônica C tem colunas as coordenadas em C:
[I]C^B = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1
Passo 8
Na base B a ação de T é diagonal com as componentes sendo os autovalores na ordem de B. Logo
[T]B = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1
Resposta
(a) [T]=tfrac12&-1&tfrac320&1&0tfrac32&-1&tfrac12
(b) pT(lambda)=(1-lambda)(lambda-2)(lambda+1), grau 3.
(c) Autovalores lambda=1,2,-1, multiplicidade algébrica 1 em cada.
(d) Espaços próprios gerados por (1,1,1)rightarrow1+t+t^2,(1,0,1)rightarrow1+t^2,(1,0,-1)rightarrow1-t^2
(e) Cada um tem multiplicidade geométrica 1, igual à algébrica.
(f) Sim. B=1+t+t^2,,1+t^2,,1-t^2 e ,[I]C^B=1&1&11&0&01&1&-1
(g) [T]B=1&0&00&2&00&0&-1