Considere o operador linear T: P2(R) P2(R) dado por T(a+b t+c t^2)=(a2-b+3 c2)+ b t+(3 a2-b+c2) t^2.
(a) Escreva a matriz [T] desse operador em relação à base canônica C=1, t, t^2.
(b) Escreva pT(lambda)=det([T]-lambda 1)𝟙, o polinômio característico de T. Qual o grau desse polinômio, na variável lambda ?
(c) Obtenha as raízes de pT(lambda), os autovalores de T. Qual a multiplicidade algébrica de cada raiz?
(d) Para cada autovalor lambda obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores v associados a lambda pela equação [T][v]=lambda[v]. Note que resolvendo esse sistema linear, você oberá as coordenadas, [v], do autovetor. Após obter as coordenadas, escreva o polinômio explicitamente.
(e) Quantos autovetores L.I. estão associados a cada autovalor? Essa é a multiplicidade geométrica do autovalor. Compare com a multiplicidade algébrica.
(f) O conjunto B de autovetores que você encontrou forma uma base de P2(R) ? Se sim, escreva a matriz mudança de base de B para a base canônica: [I]C^B.
(g) Se B for base, escreva [T]B, a matriz de T na base B.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon P2(R)to P2(R), T(a + b,t + c,t^2) =l(tfraca2-b+tfrac3c2r) + b,t +l(tfrac3a2-b+tfracc2r),t^2,
e pede:
(a) a matriz de T na base canônica C=1,t,t^2,
(b) o polinômio característico pT(lambda) e seu grau,
(c) as raízes de pT e suas multiplicidades algébricas,
(d) para cada autovalor lambda, um conjunto L.I. de autovetores,
(e) as multiplicidades geométricas e comparação com as algébricas,
(f) se esses autovetores formam base e a matriz de mudança de base [I]C^B,
(g) a matriz de T nessa base de autovetores.

Passo 2

Vamos calcular as imagens de 1, t e t^2.
Para 1 (isto é a=1,b=0,c=0)
T(1)=tfrac12+0,t+tfrac32,t^2,
logo as coordenadas em C são l(tfrac12,,0,,tfrac32r).
Para t ( a=0,b=1,c=0)
T(t)=-1 + 1,t -1,t^2,
coordenadas (-1,1,-1).
Para t^2 ( a=0,b=0,c=1)
T(t^2)=tfrac32+0,t+tfrac12,t^2,
coordenadas l(tfrac32,,0,,tfrac12r).
Portanto, na base C,
[T] = tfrac12 & -1 & tfrac32 0 & 1 & 0 tfrac32 & -1 & tfrac12

Passo 3

O polinômio característico é
pT(lambda) =detl([T]-lambda Ir) =det tfrac12-lambda & -1 & tfrac32 0 & 1-lambda & 0 tfrac32 & -1 & tfrac12-lambda
Expandindo pela segunda linha (único elemento não-zero é 1-lambda),
pT(lambda) =(1-lambda),dettfrac12-lambda & tfrac32[6pt]tfrac32 & tfrac12-lambda =(1-lambda)l[(tfrac12-lambda)^2-l(tfrac32r)^2r]
Como (tfrac12-lambda)^2-tfrac94=lambda^2-lambda-2, temos
pT(lambda) =(1-lambda),(lambda^2-lambda-2) =(1-lambda),(lambda-2),(lambda+1)
É um polinômio de grau 3 em lambda.
]

Passo 4

As raízes de pT são
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=-1,
todas com multiplicidade algébrica igual a 1 (pois cada fator é simples).

Passo 5

Para lambda=1 resolvemos ([T]-I),[x,y,z]^T=0. O sistema reduz a
-x-2y+3z=0, 3x-2y-z=0
que implica y=z e x=z. Assim os vetores são (z,z,z)=z(1,1,1). Em polinômios, um autovetor é
,1+t+t^2
Para lambda=2 temos ([T]-2I)[x,y,z]^T=0 que dá
-,tfrac32x -y +tfrac32z=0, -y=0,
logo y=0, x=z. Vetores (z,0,z)=z(1,0,1), polinômio ,1+t^2
Para lambda=-1 resolvemos ([T]+I),[x,y,z]^T=0, obtendo
tfrac32x -y +tfrac32z=0, 2y=0,
logo y=0, x=-z. Um gerador é (1,0,-1), polinômio ,1 - t^2

Passo 6

Cada autovalor tem exatamente um autovetor L.I. (dimensão do espaço próprio =1), ou seja multiplicidade geométrica 1. Como as multiplicidades algébricas também são 1, temos espaço de autovetores de dimensão igual à multiplicidade algébrica em cada caso.

Passo 7

Os autovetores formam a base
B=,1+t+t^2,;1+t^2,;1-t^2
A matriz de mudança de base de B para a canônica C tem colunas as coordenadas em C:
[I]C^B = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1

Passo 8

Na base B a ação de T é diagonal com as componentes sendo os autovalores na ordem de B. Logo
[T]B = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

(a) [T]=tfrac12&-1&tfrac320&1&0tfrac32&-1&tfrac12
(b) pT(lambda)=(1-lambda)(lambda-2)(lambda+1), grau 3.
(c) Autovalores lambda=1,2,-1, multiplicidade algébrica 1 em cada.
(d) Espaços próprios gerados por
(1,1,1)rightarrow1+t+t^2,(1,0,1)rightarrow1+t^2,(1,0,-1)rightarrow1-t^2
(e) Cada um tem multiplicidade geométrica 1, igual à algébrica.
(f) Sim. B=1+t+t^2,,1+t^2,,1-t^2 e
,[I]C^B=1&1&11&0&01&1&-1
(g) [T]B=1&0&00&2&00&0&-1

Exercícios relacionados