Exercício 2
Seja
o subespaço vetorial, cuja base ortonormal é
. Considere
com o produto interno usual.
(1 ponto) a) Determine a projeção ortogonal do vetor (
) sobre este subespaço.
(1 ponto) b) Determine o complemento ortogonal do subespaço
.
(1 ponto) a) Determine a projeção ortogonal do vetor (
(1 ponto) b) Determine o complemento ortogonal do subespaço
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
com base ortonormal
, onde
Precisamos (a) projetar
ortogonalmente em
usando
, e (b) encontrar resolvendo
.
, e (b) encontrar
Passo 2
Calcular os coeficientes
Como
, temos
Passo 3
Construir a projeção:
Expandindo as coordenadas:
logo
Passo 4
Para achar
, seja
tal que
para
. Dessas equações segue
Daí
,
e
. Logo
Resposta
A projeção ortogonal de
em
é
O complemento ortogonal é