Exercício 2

Seja W subset R^4 o subespaço vetorial, cuja base ortonormal é B=(1raiz2, 1raiz2, 0,0),(1raiz3,-1raiz3, 1raiz3, 0),(0,0,0,1). Considere R^4 com o produto interno usual.
(1 ponto) a) Determine a projeção ortogonal do vetor ( 1,0,0,0 ) sobre este subespaço.
(1 ponto) b) Determine o complemento ortogonal do subespaço W.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço com base ortonormal
, onde
Precisamos (a) projetar ortogonalmente em usando
, e (b) encontrar resolvendo .

Passo 2

Calcular os coeficientes
ci=lang<= v,birang<=(i=1,2,3)
Como v=(1,0,0,0), temos
c1=lang<= v,b1rang<==tfrac1raiz2, c2=lang<= v,b2rang<==tfrac1raiz3, c3=lang<= v,b3rang<==0

Passo 3

Construir a projeção:
Expandindo as coordenadas:
logo

Passo 4

Para achar W^perp, seja x=(x1,x2,x3,x4) tal que
lang<= x,birang<==0 para i=1,2,3. Dessas equações segue
x1+x2=0, x1-x2+x3=0, x4=0
Daí x2=-x1, x3=-2x1 e x4=0. Logo
W^perp=,t,(1,-1,-2,0)mid tinR

Resposta

A projeção ortogonal de em é
O complemento ortogonal é

Exercícios relacionados