(1,5 ponto) Seja o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 . Seja a transformação linear dada por
Calcule e e ache a matriz de na base canônica ( ). Determine o determinante de .
(0,5 ponto) Seja um espaço vetorial finitamente gerado sobre com produto interno e uma isometria. Quanto é o valor de , ou seja, o módulo do determinante de ? Justifique.
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço vetorial e a transformação linear
Precisamos calcular , e , expressá-los na base canônica , montar a matriz de nessa base e achar . Na segunda parte, para uma isometria num espaço com produto interno, determinar .
Passo 2
Calculemos as imagens sobre a base:
Para temos , logo
Para temos , logo
Para temos , logo
Passo 3
Escrevendo cada imagem como combinação linear de , obtemos:
Assim, a matriz de na base canônica é
Passo 4
Como é matriz triangular,
det(F)=1cdot2cdot3=6
Passo 5
Se T é isometria num espaço com produto interno, ela preserva comprimentos e volumes. Logo