Exercício 3

(1,5 ponto) Seja P2(R) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 . Seja F: P2(R) P2(R) a transformação linear dada por
F(p(t))=t p^prime(t)+p(t)
Calcule F(1), F(t) e F(t^2) e ache a matriz de F na base canônica ( 1, t, t^2 ). Determine o determinante de F.
(0,5 ponto) Seja V um espaço vetorial finitamente gerado sobre F com produto interno e T: V V uma isometria. Quanto é o valor de |det(T)|, ou seja, o módulo do determinante de T ? Justifique.

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial P2(R) e a transformação linear
Fcolon P2(R)to P2(R), Fl(p(t)r)=t,p'(t)+p(t)
Precisamos calcular F(1), F(t) e F(t^2), expressá-los na base canônica 1,t,t^2, montar a matriz de F nessa base e achar det(F). Na segunda parte, para uma isometria T num espaço com produto interno, determinar lvertdet(T)rvert.

Passo 2

Calculemos as imagens sobre a base:
Para p(t)=1 temos p'(t)=0, logo
F(1)=tcdot0+1=1
Para p(t)=t temos p'(t)=1, logo
F(t)=tcdot1+t=2t
Para p(t)=t^2 temos p'(t)=2t, logo
F(t^2)=tcdot2t+t^2=2t^2+t^2=3t^2

Passo 3

Escrevendo cada imagem como combinação linear de 1,t,t^2, obtemos:
F(1)=1cdot1+0cdot t+0cdot t^2, F(t)=0cdot1+2cdot t+0cdot t^2, F(t^2)=0cdot1+0cdot t+3cdot t^2
Assim, a matriz de F na base canônica é
[F]1,t,t^2 = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

Passo 4

Como é matriz triangular,
det(F)=1cdot2cdot3=6

Passo 5

Se T é isometria num espaço com produto interno, ela preserva comprimentos e volumes. Logo
lvertdet(T)rvert=1

Resposta

F(1)=1, F(t)=2t, F(t^2)=3t^2
[F]1,t,t^2 = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 , det(F)=6
Para a isometria T, lvertdet(T)rvert=1.

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