(2 Pontos) Exercício 1

Determine pelo processo de Gram-Schmidt uma base ortonormal para o subespaço vetorial [(1,1,0),(0,1,1)] de R^3 com o produto interno usual
lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==x1 y1+x2 y2+x3 y3

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço gerado pelos vetores
;(1,1,0) e ;(0,1,1) em R^3 com o produto interno usual.
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que cria primeiro vetores ortogonais e depois os normaliza.

Passo 2

Definimos v1 igual ao primeiro vetor e obtemos o primeiro vetor unitário e1.
Temos
v1 = (1,1,0),
|v1| = raiz1^2+1^2+0^2 = raiz2,
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e1 = v1|v1| = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,0r)

Passo 3

Projetamos o segundo vetor u2=(0,1,1) sobre e1 e subtraímos para obter v2 ortogonal a e1.
O coeficiente de projeção é
lang<= u2,e1rang<= = 0cdottfrac1raiz2+1cdottfrac1raiz2+1cdot0 = tfrac1raiz2,
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proje1(u2) = lang<= u2,e1rang<=,e1 = tfrac1raiz2l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,0r) = l(tfrac12,tfrac12,0r)
Então
v2 = u2 - proje1(u2) = l(0,1,1r) - l(tfrac12,tfrac12,0r) = l(-tfrac12,tfrac12,1r)

Passo 4

Normalizamos v2 para obter e2. Primeiro a norma:
|v2| = raizl(-tfrac12r)^2 + l(tfrac12r)^2 + 1^2 = raiztfrac14+tfrac14+1 = raiztfrac32 = raiz62
Portanto
e2 = v2|v2| = 1raiz62l(-tfrac12,tfrac12,1r) = l(-tfrac1raiz6,,tfrac1raiz6,,tfrac2raiz6r)

Resposta

Uma base ortonormal para o subespaço é
l, l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,0r), ; l(-tfrac1raiz6,,tfrac1raiz6,,tfrac2raiz6r) r

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