(2 Pontos) Exercício 1
Determine pelo processo de Gram-Schmidt uma base ortonormal para o subespaço vetorial
de
com o produto interno usual
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço gerado pelos vetores
e
em
com o produto interno usual.
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que cria primeiro vetores ortogonais e depois os normaliza.
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que cria primeiro vetores ortogonais e depois os normaliza.
Passo 2
Definimos
igual ao primeiro vetor e obtemos o primeiro vetor unitário
.
Temos
Temos
logo
Passo 3
Projetamos o segundo vetor
sobre
e subtraímos para obter
ortogonal a
.
O coeficiente de projeção é
O coeficiente de projeção é
logo
Então
Passo 4
Normalizamos
para obter
. Primeiro a norma:
Portanto
Resposta
Uma base ortonormal para o subespaço é