Considere um operador linear T: R^3 R^3 cujos autovetores são
v1=(1,0,-1), v2=(0,-1,1) e v3=(0,0,1)
Verifique se T é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um operador linear v1 = (1, 0, -1), v2 = (0, -1, 1), v3 = (0, 0, 1) com três autovetores específicos:
O que precisamos determinar é se é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de diagonalização e autovetores. Precisamos verificar se esses três autovetores formam uma base do espaço , ou seja, se são linearmente independentes e não se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que um operador linear seja diagonalizável. Um operador é diagonalizável se existe uma base do espaço vetorial composta apenas por autovetores de . Isso facilita muito o trabalho com , já que a matriz representativa dele nessa base será uma matriz diagonal.

Passo 3

Agora, para verificar se os autovetores formam uma base, precisamos checar se eles são linearmente independentes. Se forem, então é diagonalizável.

Passo 4

Para testar a independência linear, montamos uma matriz cujas colunas são esses autovetores e calculamos seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz A = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 -1 & 1 & 1 :

Passo 5

Agora, calculamos o determinante de det(A) = 1 cdot -1 & 0 1 & 1 - 0 cdot 0 & 0 -1 & 1 + 0 cdot 0 & -1 -1 & 1 :
det(A) = 1 cdot [(-1)(1) - (0)(1)] = 1 cdot (-1) = -1

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero, concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como temos três vetores linearmente independentes em , eles formam uma base desse espaço. Portanto, possui uma base de autovetores.

Resposta

Sim, o operador é diagonalizável porque seus autovetores são linearmente independentes e formam uma base de .

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