Dados subespaços H e K de um espaço vetorial V, a soma de H e K, denotada de H+K, é o conjunto de todos os vetores em V que podem ser escritos como a soma de dois vetores, um em H e outro em K, ou seja:
H+K=v: w=h+k mid h in H e k in K
a) Mostre que H+K é um subespaço de V;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços e de um espaço vetorial . O exercício pede pra gente mostrar que a soma desses dois subespaços, , também é um subespaço de . A gente vai precisar usar os conceitos de subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas pra isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se você pegar qualquer dois vetores em e somar, o resultado também está em .
  3. Se você multiplicar qualquer vetor de por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar essas três condições para .

Passo 3

1. O vetor zero está em 0 + 0 = 0 :
Sabemos que tanto quanto são subespaços, então ambos contêm o vetor zero, ou seja, e .
Se a gente soma dois vetores do zero, temos:
Portanto, .

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores qualquer em u = h1 + k1 com h1 in H e k1 in K . Vamos chamar esses vetores de v = h2 + k2 com h2 in H e k2 in K e u + v = (h1 + k1) + (h2 + k2) = (h1 + h2) + (k1 + k2) .
Pelo que sabemos:
u + v in H + K
Agora, vamos somar e :
Como e são subespaços, as somas estão em e estão em . Portanto:

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer u = h + k com h in H e k in K em c u = c (h + k) = c h + c k e um escalar c u in H + K .
Sabemos que:
Agora, multiplicamos por :
Como e são subespaços, e . Então:

Resposta

Assim, verificamos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto, é um subespaço de .

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