Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)
Determine:
(a) O polinômio característico de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por . O que a gente precisa encontrar aqui é o polinômio característico desse operador. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente da parte que estuda operadores lineares e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Para um operador linear, o polinômio característico é um polinômio que a gente obtém a partir da matriz que representa o operador, e ele nos ajuda a encontrar os autovalores do operador. Para encontrar esse polinômio, precisamos da matriz associada ao operador .

Passo 3

Vamos construir a matriz A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 2 & 1 & -1 que representa o operador na base canônica de . Isso significa que cada coluna de corresponde à imagem dos vetores da base padrão através de .
Aplicando nos vetores da base:
Então, a matriz fica:

Passo 4

Agora que temos a matriz p(lambda) = det(A - lambda I) , o próximo passo é encontrar o polinômio característico. A fórmula para isso é:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 0 1 & -1 - lambda & 2 2 & 1 & -1 - lambda
Onde é a matriz identidade e é uma variável escalar.
Então, vamos construir :

Passo 5

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = 1 - lambda & 1 & 0 1 & -1 - lambda & 2 2 & 1 & -1 - lambda :
= (1 - lambda) cdot det -1 - lambda & 2 1 & -1 - lambda - 1 cdot det 1 & 2 2 & -1 - lambda + 0 cdot det 1 & -1 - lambda 2 & 1
Vamos expandir o determinante:
det -1 - lambda & 2 1 & -1 - lambda = (-1 - lambda)^2 - 2 cdot 1 = lambda^2 + 2lambda + 1 - 2 = lambda^2 + 2lambda -1
Calculando os determinantes menores:
det 1 & 2 2 & -1 - lambda = 1 cdot (-1 - lambda) - 2 cdot 2 = -1 - lambda -4 = -lambda -5
= (1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda -1) - 1(-lambda -5) + 0
Substituindo de volta:
= (1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda -1) + lambda + 5
= lambda^2 + 2lambda -1 - lambda^3 - 2lambda^2 + lambda + 5
Vamos multiplicar:
= -lambda^3 - lambda^2 + 4lambda + 4

Resposta

O polinômio característico de p(lambda) = -lambda^3 - lambda^2 + 4lambda + 4 é:

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