Quais dos seguintes vetores em
são combinações lineares de
а)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está perguntando quais dos vetores (no caso, matrizes 2x2) são combinações lineares das matrizes
,
e
que foram dadas. Isso envolve um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de combinação linear. Para resolver, vamos precisar entender como expressar uma matriz como uma combinação dessas três.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que uma matriz
é uma combinação linear de
,
e
se existirem números reais
,
e
tais que:
Isso significa que podemos multiplicar cada uma das matrizes
,
e
por esses coeficientes e somar os resultados para obter a matriz
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à matriz que queremos verificar, que é:
Queremos ver se existem valores de
,
e
que satisfaçam:
Passo 4
Vamos expandir a equação:
[
]
Isso nos dá um sistema de equações:
-
(entrada [1,1]) -
(entrada [1,2]) -
(entrada [2,1]) -
(entrada [2,2])
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 1:
Agora, da equação 2:
Igualando Equação A e Equação B:
Agora, da equação 3:
Substituindo
da Equação A:
Agora temos Equação C e Equação D:
Equação C:
Equação D:
Subtraindo Equação C de Equação D:
Agora, substituindo
na Equação C:
E substituindo
na Equação A:
Resposta
A matriz
é uma combinação linear das matrizes
,
e
com
,
e
.