Quais dos seguintes vetores em M2 times 2(R) são combinações lineares de
A=(rr 4 & 0 -2 & -2 ), B=(rr 1 & -1 2 & 3 ) e C=(ll 0 & 2 1 & 4 ) ?
а) (rr6 & -8 -1 & -8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está perguntando quais dos vetores (no caso, matrizes 2x2) são combinações lineares das matrizes , e que foram dadas. Isso envolve um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de combinação linear. Para resolver, vamos precisar entender como expressar uma matriz como uma combinação dessas três.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que uma matriz M = xA + yB + zC é uma combinação linear de , e se existirem números reais , e tais que:
Isso significa que podemos multiplicar cada uma das matrizes , e por esses coeficientes e somar os resultados para obter a matriz .

Passo 3

Vamos aplicar isso à matriz que queremos verificar, que é:
6 & -8 -1 & -8
Queremos ver se existem valores de 6 & -8 -1 & -8 = x 4 & 0 -2 & -2 + y 1 & -1 2 & 3 + z 0 & 2 1 & 4 , e que satisfaçam:

Passo 4

Vamos expandir a equação:

[
6 & -8 -1 & -8 = 4x + y + 0z & 0x - y + 2z -2x + 2y + z & -2x + 3y + 4z


]
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (entrada [1,1])
  2. (entrada [1,2])
  3. (entrada [2,1])
  4. (entrada [2,2])

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 1:
(Vamos chamar isso de Equação A)
Agora, da equação 2:
(Equação B)
Igualando Equação A e Equação B:
(Equação C)
Agora, da equação 3:
Substituindo da Equação A:
(Equação D)
Agora temos Equação C e Equação D:
Equação C:
Equação D:
Subtraindo Equação C de Equação D:
Agora, substituindo na Equação C:
E substituindo na Equação A:

Resposta

A matriz 6 & -8 -1 & -8 é uma combinação linear das matrizes , e com , e .

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