Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de R^3 ?
c) W=(x, y, z) in R^3 mid y=x+z

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais, mais especificamente com subespaços de W = (x, y, z) in R^3 mid y = x + z . O exercício nos apresenta o conjunto:
E queremos descobrir se esse conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar verificar alguns critérios básicos que definem um subespaço.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que é um subespaço. Um subespaço de deve satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor nulo: O vetor deve pertencer a .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somá-los, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor em por um número real, o vetor resultante também deve pertencer a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor nulo está em y = x + z :
O vetor nulo em 0 = 0 + 0 é 0 = 0 . Vamos ver se ele satisfaz a condição de u = (x1, y1, z1) :
v = (x2, y2, z2)
y1 = x1 + z1
y2 = x2 + z2
Como a igualdade é verdadeira, o vetor nulo está em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) .
2. Verificando se y1 + y2 = (x1 + x2) + (z1 + z2) é fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em y1 + y2 = x1 + z1 + x2 + z2 :
y1 + y2 = (x1 + z1) + (x2 + z2)
y1 + y2 = y1 + y2
Sabemos que para cada um deles:
Agora, somamos esses dois vetores:
Vamos verificar se o vetor resultante também satisfaz a condição de :
A igualdade se mantém verdadeira, o que mostra que a soma de dois vetores em também está em .

Passo 4

3. Verificando se u = (x, y, z) é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em cu = (c x, c y, c z) :
c y = c x + c z
E multiplicá-lo por um escalar c(x + z) = c x + c z :
c x + c z = c x + c z
Para que esteja em , deve valer:
Sabemos que , então:
Como a multiplicação é distributiva, a igualdade é verdadeira:
Portanto, a multiplicação por qualquer escalar mantém o vetor dentro de .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de .

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