Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
?
c)
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais, mais especificamente com subespaços de
. O exercício nos apresenta o conjunto:
E queremos descobrir se esse conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar verificar alguns critérios básicos que definem um subespaço.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que é um subespaço. Um subespaço de
deve satisfazer três condições principais:
- Contém o vetor nulo: O vetor
deve pertencer a . - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
e somá-los, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor em
por um número real, o vetor resultante também deve pertencer a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor nulo está em
:
O vetor nulo em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição de
:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor nulo está em
.
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em
:
Sabemos que para cada um deles:
Agora, somamos esses dois vetores:
Vamos verificar se o vetor resultante também satisfaz a condição de
:
A igualdade se mantém verdadeira, o que mostra que a soma de dois vetores em
também está em
.
Passo 4
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
E multiplicá-lo por um escalar
:
Para que
esteja em
, deve valer:
Sabemos que
, então:
Como a multiplicação é distributiva, a igualdade é verdadeira:
Portanto, a multiplicação por qualquer escalar mantém o vetor dentro de
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
.