Prove que o conjunto dos polinômios reais que satisfazem a propriedade f(t)>0 para todo t in R não é um subespaço de P(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto dos polinômios reais que satisfazem a condição para todo não é um subespaço de , que é o conjunto de todos os polinômios reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa cumprir três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O polinômio zero (que é zero para todo ) deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios que estão no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um polinômio do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos analisar se o conjunto dos polinômios que satisfazem para todo cumpre essas condições.
1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em é o polinômio . Mas não satisfaz para todo , então o conjunto não contém o vetor zero.

Passo 4

2. Verificar se é fechado sob adição:
Mesmo que ignoremos a primeira condição, vamos pensar na adição. Suponha que temos dois polinômios e que são positivos para todo . A soma também será positiva para todo , então essa condição seria satisfeita.
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um polinômio positivo por um escalar negativo, digamos . O resultado será , que será negativo para todo , ou seja, . Assim, a multiplicação por um escalar negativo faz com que o polinômio resultante não esteja mais no conjunto.

Passo 5

Mesmo que algumas condições fossem satisfeitas, para ser realmente um subespaço, todas as condições precisam ser cumpridas. No nosso caso, já vimos que o conjunto não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação por escalar. Isso já é suficiente para concluir que o conjunto não é um subespaço de .

Resposta

Portanto, o conjunto dos polinômios reais que satisfazem para todo não é um subespaço de .

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