Prove que o conjunto dos polinômios reais que satisfazem a propriedade
para todo
não é um subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto dos polinômios reais que satisfazem a condição
para todo
não é um subespaço de
, que é o conjunto de todos os polinômios reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa cumprir três condições principais:
- Contém o vetor zero: O polinômio zero (que é zero para todo
) deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios que estão no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um polinômio do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos analisar se o conjunto dos polinômios que satisfazem
para todo
cumpre essas condições.
1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em é o polinômio
. Mas
não satisfaz
para todo
, então o conjunto não contém o vetor zero.
O vetor zero em
Passo 4
2. Verificar se é fechado sob adição:
Mesmo que ignoremos a primeira condição, vamos pensar na adição. Suponha que temos dois polinômios e
que são positivos para todo
. A soma
também será positiva para todo
, então essa condição seria satisfeita.
Mesmo que ignoremos a primeira condição, vamos pensar na adição. Suponha que temos dois polinômios
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um polinômio positivo por um escalar negativo, digamos
. O resultado será
, que será negativo para todo
, ou seja,
. Assim, a multiplicação por um escalar negativo faz com que o polinômio resultante não esteja mais no conjunto.
Vamos multiplicar um polinômio positivo
Passo 5
Mesmo que algumas condições fossem satisfeitas, para ser realmente um subespaço, todas as condições precisam ser cumpridas. No nosso caso, já vimos que o conjunto não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação por escalar. Isso já é suficiente para concluir que o conjunto não é um subespaço de
.
Resposta
Portanto, o conjunto dos polinômios reais que satisfazem
para todo
não é um subespaço de
.