Considere o operador linear T: R^{2} \rightarrow R^{2} com autovalores \lambda_{1}=2 e \lambda_{2}=1 e autovetores V_{1}=\binom{1}{3} e V_{2}=\binom{2}{5}.
a) O operador T é diagonalizável ? Se for, exiba uma base que diagonaliza T e a matriz de T nesta base.
b) Determine a lei de T.

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com autovalores \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=1 e autovetores
V_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix},\quad V_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ 5\end{pmatrix}.
Queremos (a) decidir se T é diagonalizável, exibindo uma base que a diagonaliza e a matriz de T nessa base; e (b) determinar a lei de T na base canônica. Para isso usaremos o teorema de diagonalização e a fórmula de mudança de base A=PDP^{-1}.

Passo 2

Verificamos se \{V_{1},V_{2}\} é base, calculando o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
P=\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&5\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \det(P)=1\cdot5-2\cdot3=-1\neq0.
Como \det(P)\neq0, os vetores são linearmente independentes e formam base. Logo, T é diagonalizável.

Passo 3

Na base B=\{V_{1},V_{2}\}, a matriz de T é diagonal, com os autovalores na diagonal:
[D]_{B} = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para achar a lei de T na base canônica, montamos
P = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 5\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
e calculamos
P^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix}5 & -2 \\\\ -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 & 2 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Então a matriz de T na base canônica é
A = P D P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-5 & 2 \\\\ 3 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & 2 \\\\ -15 & 7\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) Sim, T é diagonalizável. Uma base que diagonaliza é
\{\,V_{1}=(1,3)^T,\;V_{2}=(2,5)^T\},
e a matriz de T nessa base é
\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
(b) Na base canônica, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2,
T(x,y)=\bigl(-4x+2y,\,-15x+7y\bigr).

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