Considere o operador linear T: R^{2} \rightarrow R^{2} com autovalores \lambda_{1}=2 e \lambda_{2}=1 e autovetores V_{1}=\binom{1}{3} e V_{2}=\binom{2}{5}.
a) O operador T é diagonalizável ? Se for, exiba uma base que diagonaliza T e a matriz de T nesta base.
b) Determine a lei de T.
Passo 1
O enunciado define T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com autovalores \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=1 e autovetores
Queremos (a) decidir se T é diagonalizável, exibindo uma base que a diagonaliza e a matriz de T nessa base; e (b) determinar a lei de T na base canônica. Para isso usaremos o teorema de diagonalização e a fórmula de mudança de base A=PDP^{-1}.
Passo 2
Verificamos se \{V_{1},V_{2}\} é base, calculando o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores: