Encontre os autovalores e autovetores da matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\\ 1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}3 & -1\\[6pt]1 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo envolve montar o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 para achar os autovalores e depois resolver (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.]

Passo 2

Montamos o determinante de A - \lambda I:
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(1-\lambda) - (-1)\cdot 1.]

Passo 3

Expandindo e simplificando o polinômio característico:
(3-\lambda)(1-\lambda) + 1 = 3 -3\lambda -\lambda + \lambda^2 + 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda - 2)^2.
Daí a equação (\lambda - 2)^2 = 0 dá o autovalor
\lambda = 2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para encontrar os autovetores associados a \lambda=2, resolvemos
(A - 2I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Essa matriz reduzida impõe x - y = 0, ou seja, x = y. Portanto, os vetores da forma
\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} (multiplicados por qualquer escalar) são autovetores de A.]

Resposta

Autovalor:
\lambda = 2 (multiplicidade algébrica 2, mas dimensão do subespaço próprio igual a 1).
Autovetores:
todos os vetores proporcionais a
\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

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