Encontre o vetor solução do PVI abaixo
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}=x_{1}-x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=x_{2} \\\ x_{1}(0)=-1 \\\ x_{2}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem:
\begin{cases} x_{1}' = x_{1} - x_{2},\\\ x_{2}' = x_{2}, \end{cases}
com condições iniciais x_{1}(0)=-1 e x_{2}(0)=1. O conteúdo aqui é a resolução de sistemas triangulares, resolvendo primeiro a equação de x_{2} (que está desacoplada) e depois usando fator integrante para x_{1}.

Passo 2

Resolvendo \,x_{2}' = x_{2} com x_{2}(0)=1, reconhecemos uma equação de crescimento exponencial:
x_{2}(t) = Ce^{t}.
Impondo x_{2}(0)=1 C=1, logo
x_{2}(t) = e^{t}.

Passo 3

Agora temos
x_{1}' = x_{1} - x_{2} = x_{1} - e^{t}.
Escrevemos na forma padrão de equação linear:
x_{1}' - x_{1} = -e^{t}.
O fator integrante é \mu(t)=e^{-t}.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
e^{-t}x_{1}' - e^{-t}x_{1} = -e^{-t}e^{t} = -1,
ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(x_{1}e^{-t}\bigr) = -1.
Integrando em t,
x_{1}e^{-t} = -t + C,
logo
x_{1}(t) = e^{t}\bigl(-t + C\bigr).

Passo 5

Aplicando a condição inicial x_{1}(0)=-1 em x_{1}(0)=(-0+C)\cdot1 resulta C=-1. Substituindo em x_{1}(t)
x_{1}(t) = e^{t}(-t - 1) = -(t+1)e^{t}.

Resposta

\begin{pmatrix} x_{1}(t)\\\ x_{2}(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(t+1)e^{t}\\\ e^{t} \end{pmatrix}.

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