Seja a matriz A=\left(\begin{array}{ll} 2 & -3 \\\\ 1 & -2 \end{array}\right) Encontre A^{100}. Passo 1O enunciado nos dá a matriz A = \begin{pmatrix}2 & -3\\\ 1 & -2\end{pmatrix} e pede o cálculo de A^{100}. O conteúdo aqui é potência de matriz, e vamos usar o polinômio característico e o Teorema de Cayley–Hamilton para encontrar uma relação simples que permita elevar A a potências altas. Passo 2Calculamos o traço e o determinante de A: \mathrm{tr}(A)=2+(-2)=0, \quad \det(A)=2\cdot(-2)-(-3)\cdot1=-4+3=-1. O polinômio característico de A é p(\lambda)=\lambda^2-\mathrm{tr}(A)\,\lambda+\det(A) =\lambda^2-1. Passo 3Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, A satisfaz A^2 - I = 0 \quad\Longrightarrow\quad A^2 = I, onde I é a matriz identidade 2\times2. Passo 4Usando A^2=I, temos A^{100} = \bigl(A^2\bigr)^{50} = I^{50} = I. Resposta A^{100} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosConsidere o operador linear T: R^{2} \rightarrow R^{2} com autovalores \lambda_{1}=2 e \lambda_{2}=1 e autovetores V_{1}=\binom{1}{3} e V_{2}=\binom{2}{5}. a) O operador T é diagonalizável ? Se for, exiba uma base que diagonaliza T e a matriz de T nesta base. b) Determine a lei de T. Encontre os autovalores e autovetores da matrizes abaixo: \left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\\ 1 & 1\end{array}\right) Encontre o vetor solução do PVI abaixo \left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}=x_{1}-x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=x_{2} \\\ x_{1}(0)=-1 \\\ x_{2}(0)=1\end{array}\right. Encontre o vetor solução do PVI abaixo \left\{\begin{array}{l}X^{\prime}=A X \\\ X(0)=X_{0}\end{array} \quad\right. onde A=\left(\begin{array}{rr}-1 & -4 \\\\ 1 & -1\end{array}\right), \quad X_{0}=\binom{2}{3}