Seja a matriz
A=\left(\begin{array}{ll} 2 & -3 \\\\ 1 & -2 \end{array}\right)
Encontre A^{100}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & -3\\\ 1 & -2\end{pmatrix}
e pede o cálculo de A^{100}. O conteúdo aqui é potência de matriz, e vamos usar o polinômio característico e o Teorema de Cayley–Hamilton para encontrar uma relação simples que permita elevar A a potências altas.

Passo 2

Calculamos o traço e o determinante de A:
\mathrm{tr}(A)=2+(-2)=0, \quad \det(A)=2\cdot(-2)-(-3)\cdot1=-4+3=-1.
O polinômio característico de A é
p(\lambda)=\lambda^2-\mathrm{tr}(A)\,\lambda+\det(A) =\lambda^2-1.

Passo 3

Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, A satisfaz
A^2 - I = 0 \quad\Longrightarrow\quad A^2 = I,
onde I é a matriz identidade 2\times2.

Passo 4

Usando A^2=I, temos
A^{100} = \bigl(A^2\bigr)^{50} = I^{50} = I.

Resposta

A^{100} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados