Considere o operador linear F: R^2 R^2 que tem os autovalores lambda1=1 e lambda2=-1 e que o vetor v1=(1,1) é o autovetor associado ao autovalor lambda1 e v2=(-1,1) é o autovetor associado ao autovalor lambda2.
(a) Calcule F(1,1) e F(-1,1).
(b) Calcule F(2,2) e F(1,-1).
(c) Escreva a matriz [F]B na base B=v1, v2 de autovetores de F. Lembre-se que [v1]B=[l1 0].
(d) Escreva os vetores da base canônica de R^2 como combinação linear dos autovetores.
(e) Calcule F(1,0) e F(0,1).
(f) Escreva uma expressão para F(x, y).
(g) Escreva as matrizes mudança de base [I]C^B da base de autovetores para a base canônica e [I]B^C da base canônica para a base de autovetores. Note que não é preciso inverter nenhuma matriz e você pode usar o resultado do item (d).
(h) Verifique que [F]C=[I]C^B[F]B[I]B^C.

Passo 1

O enunciado fala de um operador linear F:R^2toR^2 com autovalores lambda1=1, lambda2=-1 e autovetores boldsymbol v1=(1,1), boldsymbol v2=(-1,1). Vamos usar as propriedades de autovetor/autovalor, linearidade de F, mudança de base e similaridade de matrizes para responder (a)–(h).

Passo 2

Como boldsymbol v1 e boldsymbol v2 são autovetores,
F(boldsymbol v1)=lambda1boldsymbol v1=1cdot(1,1)=(1,1),
F(boldsymbol v2)=lambda2boldsymbol v2=-1cdot(-1,1)=(1,-1)
Isso resolve o item (a): F(1,1)=(1,1) e F(-1,1)=(1,-1).

Passo 3

Para o item (b) usamos linearidade e expressamos (2,2)=2boldsymbol v1 e (1,-1)=-boldsymbol v2:
F(2,2)=2F(boldsymbol v1)=2(1,1)=(2,2),
F(1,-1)=F(-boldsymbol v2)=-F(boldsymbol v2)=-(1,-1)=(-1,1)

Passo 4

Na base B=boldsymbol v1,boldsymbol v2 de autovetores, F age como multiplicar cada direção pelo seu autovalor. Logo a matriz é diagonal:
[F]B= 1 & 0 0 & -1

Passo 5

Para o item (d) escrevemos os vetores da base canônica boldsymbol e1=(1,0) e boldsymbol e2=(0,1) em função de boldsymbol v1 e boldsymbol v2. Se
(a,boldsymbol v1+b,boldsymbol v2)=(a-b,,a+b)=(1,0),
resolvemos a-b=1, a+b=0 e obtemos a=tfrac12, b=-tfrac12. Logo
boldsymbol e1=tfrac12,boldsymbol v1-tfrac12,boldsymbol v2
De modo análogo para (0,1):
(a-b,,a+b)=(0,1)implies a=tfrac12,;b=tfrac12,
boldsymbol e2=tfrac12,boldsymbol v1+tfrac12,boldsymbol v2

Passo 6

Usando (d) e a linearidade para (e):
F(1,0)=F(boldsymbol e1) =Fl(tfrac12boldsymbol v1-tfrac12boldsymbol v2r) =tfrac12F(boldsymbol v1)-tfrac12F(boldsymbol v2) =tfrac12(1,1)-tfrac12(1,-1) =(0,1),
F(0,1)=F(boldsymbol e2) =Fl(tfrac12boldsymbol v1+tfrac12boldsymbol v2r) =tfrac12(1,1)+tfrac12(1,-1) =(1,0)

Passo 7

Para o item (f), como F é linear e sabemos F(1,0)=(0,1), F(0,1)=(1,0), para (x,y)=x(1,0)+y(0,1) vale
F(x,y)=x,F(1,0)+y,F(0,1)=(xcdot0+ycdot1,;xcdot1+ycdot0)=(y,x)

Passo 8

No item (g) pedem as matrizes de mudança de base:
(i) De B (autovetores) para C (canônica), denotada [I]C^B, tem colunas boldsymbol v1,boldsymbol v2 em coordenadas canônicas:
[I]C^B = 1 & -1 1 & 1
(ii) De C para B, denotada [I]B^C, tem colunas [boldsymbol e1]B e [boldsymbol e2]B de (d):
[I]B^C = tfrac12 & tfrac12 -tfrac12 & tfrac12

Passo 9

Para (h) verificamos que
[I]C^B,[F]B,[I]B^C =1&-11&1 1&00&-1 tfrac12&tfrac12-tfrac12&tfrac12 =0&11&0,
que é exatamente a matriz de F na base canônica C. Logo a identidade de similaridade está confirmada.

Resposta

(a) F(1,1)=(1,1), F(-1,1)=(1,-1).
(b) F(2,2)=(2,2), F(1,-1)=(-1,1).
(c) [F]B=1&00&-1.
(d) boldsymbol e1=tfrac12boldsymbol v1-tfrac12boldsymbol v2,;boldsymbol e2=tfrac12boldsymbol v1+tfrac12boldsymbol v2
(e) F(1,0)=(0,1), F(0,1)=(1,0).
(f) F(x,y)=(y,x).
(g) [I]C^B=1&-11&1,;[I]B^C=tfrac12&tfrac12-tfrac12&tfrac12
(h) [F]C=[I]C^B,[F]B,[I]B^C=0&11&0

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