Considere o operador linear que tem os autovalores e e que o vetor é o autovetor associado ao autovalor e é o autovetor associado ao autovalor .
(a) Calcule e .
(b) Calcule e .
(c) Escreva a matriz na base de autovetores de . Lembre-se que .
(d) Escreva os vetores da base canônica de R^2 como combinação linear dos autovetores.
(e) Calcule F(1,0) e F(0,1).
(f) Escreva uma expressão para F(x, y).
(g) Escreva as matrizes mudança de base [I]C^B da base de autovetores para a base canônica e [I]B^C da base canônica para a base de autovetores. Note que não é preciso inverter nenhuma matriz e você pode usar o resultado do item (d).
(h) Verifique que [F]C=[I]C^B[F]B[I]B^C.
Passo 1
O enunciado fala de um operador linear F:R^2toR^2 com autovalores lambda1=1, lambda2=-1 e autovetores boldsymbol v1=(1,1), boldsymbol v2=(-1,1). Vamos usar as propriedades de autovetor/autovalor, linearidade de F, mudança de base e similaridade de matrizes para responder (a)–(h).
Passo 2
Como boldsymbol v1 e boldsymbol v2 são autovetores,
No item (g) pedem as matrizes de mudança de base: (i) De B (autovetores) para C (canônica), denotada [I]C^B, tem colunas boldsymbol v1,boldsymbol v2 em coordenadas canônicas:
[I]C^B = 1 & -1 1 & 1
(ii) De C para B, denotada [I]B^C, tem colunas [boldsymbol e1]B e [boldsymbol e2]B de (d):