Seja um espaço vetorial sobre de dimensão 4 com um produto interno. Suponha que seja uma base ortonormal ordenada deste espaço. Seja uma transformação linear cuja matriz em relação à base ortonormal ordenada é dada por
(1 ponto) a) Esta transformação linear é auto-adjunta? Ela é uma isometria? Justifique.
(1 ponto) b) Escreva o polinômio característico de F e determine seus auto-valores.
(1 ponto) c) Determine uma base de V formada por auto-vetores de F, mostrando que F é diagonalizável.
(1 ponto) d) Ache uma matriz diagonal que seja semelhante à FB.
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear F:Vto V num espaço vetorial complexo de dimensão 4, com base ortonormal B em que a matriz de F é
Precisamos (a) verificar se F é auto-adjunta e/ou isometria, (b) achar o polinômio característico e os autovalores, (c) determinar uma base de autovetores e mostrar diagonalizabilidade, (d) exibir a matriz diagonal semelhante.
Passo 2
Para testar se F é auto-adjunta, calculamos a matriz conjugada transposta FB^*. Como i=-i, tem-se
As raízes são lambda=0,;2 e lambda=3 (multiplicidade 2).
Passo 4
Para resolvemos
Um autovetor é .
Para resolvemos
Um autovetor é .
Passo 5
Para lambda=3 olhamos o bloco diagonal 3I2, que anula as duas últimas coordenadas. Assim os vetores l(0,0,1,0r) e l(0,0,0,1r) são autovetores independentes com valor próprio 3.