Considere o operador linear F: R^2 R^2 que tem os autovalores lambda1=3 e lambda2=-1 e que o vetor v1=(-2,1) é o autovetor associado ao autovalor lambda1 e v2=(3,1) é o autovetor associado ao autovalor lambda2.
(a) Calcule F(-2,1) e F(3,1).
(b) Calcule F(2,-1) e F(1, 13).
(c) Escreva a matriz [F]B na base B=v1, v2 de autovetores de F. Lembre-se que [v1]B=[l1 0].
(d) Escreva os vetores da base canônica de R^2 como combinação linear dos autovetores.
(e) Calcule F(1,0) e F(0,1).
(f) Escreva uma expressão para F(x, y).
(g) Escreva as matrizes mudança de base [I]C^B da base de autovetores para a base canônica e [I]B^C da base canônica para a base de autovetores. Note que não é preciso inverter nenhuma matriz e você pode usar o resultado do item (d).
(h) Verifique que [F]C=[I]C^B[F]B[I]B^C.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear F:R^2toR^2 com autovalores lambda1=3, lambda2=-1 e autovetores boldsymbol v1=(-2,1), boldsymbol v2=(3,1). Vamos usar linearidade e decomposição em base de autovetores para achar imagens de vetores, a matriz na base de autovetores, mudança de base e expressão geral de F.

Passo 2

Como F(boldsymbol vi)=lambdaiboldsymbol vi, temos
F(-2,1)=F(boldsymbol v1)=3,boldsymbol v1=3(-2,1)=(-6,3),
F(3,1)=F(boldsymbol v2)=-1,boldsymbol v2=-1,(3,1)=(-3,-1)

Passo 3

Para achar
resolvendo obtemos . Logo
Para , escrevemos
então

Passo 4

Na base B=boldsymbol v1,boldsymbol v2 temos F(boldsymbol v1)=3boldsymbol v1 e F(boldsymbol v2)=-1boldsymbol v2. Assim
[F]B = 3 & 0 0 & -1

Passo 5

Para expressar a base canônica (1,0),(0,1) na base B, resolvemos
(1,0)=a,boldsymbol v1+b,boldsymbol v2implies -2a+3b=1, a+b=0 implies a=-tfrac15, b=tfrac15
(0,1)=c,boldsymbol v1+d,boldsymbol v2implies -2c+3d=0, c+d=1 implies c=tfrac35, d=tfrac25

Passo 6

Usando linearidade em F(1,0) e F(0,1):
F(1,0)=Fl(-tfrac15boldsymbol v1+tfrac15boldsymbol v2r) =-tfrac15cdot3,boldsymbol v1+tfrac15cdot(-1),boldsymbol v2 =(-tfrac35)boldsymbol v1+(-tfrac15)boldsymbol v2 =(tfrac35,-tfrac45),
F(0,1)=Fl(tfrac35boldsymbol v1+tfrac25boldsymbol v2r) =tfrac35cdot3,boldsymbol v1+tfrac25cdot(-1),boldsymbol v2 =(!-tfrac245,tfrac75!)

Passo 7

Como F é linear, para (x,y)=x(1,0)+y(0,1) vale
F(x,y)=x,F(1,0)+y,F(0,1) =l(tfrac3x-24y5,,tfrac-4x+7y5r)

Passo 8

A matriz de mudança de base de B para a base canônica C ( [I]C^B) tem colunas boldsymbol v1,boldsymbol v2:
[I]C^B =-2 & 31 & 1,
e de C para B ( [I]B^C) usa as coordenadas do passo 5:
[I]B^C =-tfrac15 & tfrac35[4pt]tfrac15 & tfrac25 ]

Passo 9

Comentário sobre verificação: ao calcular
[I]C^B,[F]B,[I]B^C =-2&31&1 3&00&-1 -tfrac15&tfrac35[3pt]tfrac15&tfrac25
obtemos exatamente
tfrac35&-tfrac245[3pt]-tfrac45&tfrac75 ,
que é [F]C calculada diretamente nos passos anteriores, confirmando a identidade.]

Resposta

(a) F(-2,1)=(-6,3), F(3,1)=(-3,-1).
(b) F(2,-1)=(6,-3), F(1,tfrac13)=(-1,-tfrac13).
(c) [F]B=3&00&-1
(d) (1,0)=-tfrac15boldsymbol v1+tfrac15boldsymbol v2,(0,1)=tfrac35boldsymbol v1+tfrac25boldsymbol v2
(e) F(1,0)=(tfrac35,-tfrac45),;F(0,1)=(-tfrac245,tfrac75)
(f) F(x,y)=l(tfrac3x-24y5,,tfrac-4x+7y5r)
(g) [I]C^B=-2&31&1,[I]B^C=-tfrac15&tfrac35[3pt]tfrac15&tfrac25
(h) De fato [F]C=[I]C^B,[F]B,[I]B^C, conforme verificado.]

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