Considere o operador linear que tem os autovalores , e e e que o vetor é o autovetor associado ao autovalor é o autovetor associado ao autovalor e é o autovetor associado ao autovalor .
(a) Calcule e .
(b) Calcule e .
(c) Escreva a matriz na base de autovetores de . Lembre-se que .
(d) Escreva os vetores da base canônica C=1, t, t^2 de P2(R) como combinação linear dos autovetores.
(e) Calcule F(1), F(t) e F(t^2).
(f) Escreva uma expressão para F(a+b t+c t^2).
(g) Escreva as matrizes mudança de base [I]C^B da base de autovetores para a base canônica e [I]B^C da base canônica para a base de autovetores. Note que não é preciso inverter nenhuma matriz e você pode usar o resultado do item (d).
(h) Verifique que [F]C=[I]C^B[F]B[I]B^C.
Passo 1
O enunciado fala de um operador linear F: P2(R)to P2(R) que tem autovalores lambda1=1, lambda2=-1, lambda3=0 e autovetores correspondentes v1=1+t, v2=1+t^2, v3=1-t. Vamos usar a propriedade F(vi)=lambdai,vi, a linearidade de F e mudança de base para responder (a)–(h).
Passo 2
(a) Como v1=1+t, v2=1+t^2, v3=1-t são autovetores,
F(1+t)=F(v1)=1cdot v1=1+t,
F(1+t^2)=F(v2)=-1cdot v2=-1-t^2,
F(1-t)=F(v3)=0cdot v3=0
Passo 3
(b) Para combinações lineares:
F(-1-t)=-F(1+t)=-l(1+tr)=-1-t,
F(3+3t^2)=3,F(1+t^2)=3(-1-t^2)=-3-3t^2,
-1+t=-v3implies F(-1+t)=-F(v3)=0
Passo 4
(c) Na base de autovetores B=v1,v2,v3 a ação de F é diagonal:
[F]B= 1 & 0 & 0 0 & -1& 0 0 & 0 & 0
Passo 5
(d) Escrevemos cada vetor da base canônica C=1,t,t^2 em B. Se
1=a,v1+b,v2+c,v3
então
1=(a+b+c)+(a-c),t+b,t^2
Comparando coeficientes vem b=0, a-c=0, a+b+c=1 implies a=c=tfrac12. Logo