Considere o operador linear F: P2(R) P2(R) que tem os autovalores lambda1=1, e lambda2=-1 e lambda3=0 e que o vetor v1=1+t é o autovetor associado ao autovalor lambda1, v2=1+t^2 é o autovetor associado ao autovalor lambda2 e v3=1-t é o autovetor associado ao autovalor lambda3.
(a) Calcule F(1+t), F(1+t^2) e F(1-t).
(b) Calcule F(-1-t), F(3+3 t^2) e F(-1+t).
(c) Escreva a matriz [F]B na base B=v1, v2, v3 de autovetores de F. Lembre-se que [v1]B=[l1 0 0].
(d) Escreva os vetores da base canônica C=1, t, t^2 de P2(R) como combinação linear dos autovetores.
(e) Calcule F(1), F(t) e F(t^2).
(f) Escreva uma expressão para F(a+b t+c t^2).
(g) Escreva as matrizes mudança de base [I]C^B da base de autovetores para a base canônica e [I]B^C da base canônica para a base de autovetores. Note que não é preciso inverter nenhuma matriz e você pode usar o resultado do item (d).
(h) Verifique que [F]C=[I]C^B[F]B[I]B^C.

Passo 1

O enunciado fala de um operador linear F: P2(R)to P2(R) que tem autovalores lambda1=1, lambda2=-1, lambda3=0 e autovetores correspondentes v1=1+t, v2=1+t^2, v3=1-t. Vamos usar a propriedade F(vi)=lambdai,vi, a linearidade de F e mudança de base para responder (a)–(h).

Passo 2

(a) Como v1=1+t, v2=1+t^2, v3=1-t são autovetores,
F(1+t)=F(v1)=1cdot v1=1+t,
F(1+t^2)=F(v2)=-1cdot v2=-1-t^2,
F(1-t)=F(v3)=0cdot v3=0

Passo 3

(b) Para combinações lineares:
F(-1-t)=-F(1+t)=-l(1+tr)=-1-t,
F(3+3t^2)=3,F(1+t^2)=3(-1-t^2)=-3-3t^2,
-1+t=-v3implies F(-1+t)=-F(v3)=0

Passo 4

(c) Na base de autovetores B=v1,v2,v3 a ação de F é diagonal:
[F]B= 1 & 0 & 0 0 & -1& 0 0 & 0 & 0

Passo 5

(d) Escrevemos cada vetor da base canônica C=1,t,t^2 em B. Se
1=a,v1+b,v2+c,v3
então
1=(a+b+c)+(a-c),t+b,t^2
Comparando coeficientes vem b=0, a-c=0, a+b+c=1 implies a=c=tfrac12. Logo
1=tfrac12,v1+0cdot v2+tfrac12,v3
De modo análogo,
t=tfrac12,v1+0cdot v2-tfrac12,v3, t^2=-tfrac12,v1+1cdot v2-tfrac12,v3

Passo 6

(e) Usando linearidade e itens anteriores:
F(1)=Fl(tfrac12v1+tfrac12v3r) =tfrac12F(v1)+tfrac12F(v3) =tfrac12v1 =tfrac12+tfrac12t,
F(t)=Fl(tfrac12v1-tfrac12v3r) =tfrac12v1 =tfrac12+tfrac12t,
F(t^2)=Fl(-tfrac12v1+v2-tfrac12v3r) =-tfrac12v1-v2 =-tfrac12(1+t)-(1+t^2) =-tfrac32-tfrac12t-t^2

Passo 7

(f) Para p(t)=a+b,t+c,t^2,
F(p)=a,F(1)+b,F(t)+c,F(t^2)
Somando os resultados de (e),
F(a+b,t+c,t^2) =a+b-3c2 +a+b-c2,t -c,t^2

Passo 8

(g) A matriz de mudança de base de B para C, denotada [I]C^B, tem colunas as coordenadas de v1,v2,v3 na base C:
v1=1+tsim110,; v2=1+t^2sim101,; v3=1-tsim1-10
[I]C^B = 1 & 1 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0
A inversa formal (mudança de C para B) [I]B^C vem das coordenadas dos vetores de C em B, obtidas em (d):
[I]B^C = tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 0 & 0 & 1 tfrac12 & -tfrac12 & -tfrac12

Passo 9

(h) Verificamos que
[F]C =[I]C^B,[F]B,[I]B^C
De fato,
[I]C^B,[F]B =1&1&11&0&-10&1&0 1&0&00&-1&00&0&0 = 1&-1&01&0&00&-1&0,
e multiplicando por [I]B^C recupera-se a matriz de F em C que corresponde à fórmula do item (f).

Resposta

(a) F(1+t)=1+t, F(1+t^2)=-1-t^2, F(1-t)=0
(b) F(-1-t)=-1-t, F(3+3t^2)=-3-3t^2, F(-1+t)=0
(c) [F]B=1&0&00&-1&00&0&0
(d) 1=tfrac12v1+tfrac12v3, t=tfrac12v1-tfrac12v3, t^2=-tfrac12v1+v2-tfrac12v3
(e) F(1)=tfrac12+tfrac12t, F(t)=tfrac12+tfrac12t, F(t^2)=-tfrac32-tfrac12t-t^2
(f) F(a+bt+ct^2)=a+b-3c2+a+b-c2,t-c,t^2
(g) [I]C^B=1&1&11&0&-10&1&0, [I]B^C=tfrac12&tfrac12&-tfrac120&0&1tfrac12&-tfrac12&-tfrac12
(h) De fato [F]C=[I]C^B[F]B[I]B^C.

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