Considere os operadores momento angular
e
tais que
. Mostre que
não comuta com
e
, mas comuta com
e
. Mostre ainda que os operadores
e
comutam. Como você pode interpretar este resultado?
Passo 1
O enunciado dá dois operadores de momento angular
e
e o momento total
Pede-se para mostrar:
- que
não comuta com e (em geral); - que
comuta com , com e com ; - que
e comutam entre si; - e pedir uma interpretação física deste resultado.
Vou usar apenas as informações do enunciado e as relações padrão de comutadores para momentos angulares.
Passo 2
Lembrar (aulas rápidas) das relações básicas de comutador para momentos angulares e do significado delas:
- Para componentes do mesmo momento angular
vale
onde
e
. Aqui
é o símbolo de Levi-Civita.
- Componentes de momentos de partículas/sistemas diferentes comutam:
Isto porque atuam em espaços de Hilbert distintos (produto tensorial).
- Importante:
comuta com todas as componentes do mesmo :
Isto é padrão:
é um casimir para o álgebra
do subsistema
.
Passo 3
Escrevemos
expandido em termos de
e
:
onde
Passo 4
Calcular o comutador
.
Usando a expansão:
- O primeiro termo é zero porque
comuta com todas as componentes de :
- O segundo termo é zero porque
atua no subsistema 2 e comuta com operadores do subsistema 1:
- O único potencialmente não nulo é o terceiro:
Expandindo um termo genérico:
Mas
(subsistemas diferentes), então
Agora usamos
. Somando os três valores de
obtemos, após calcular componentes,
Portanto
Em geral isto não é zero (salvo casos especiais), então
não comuta com
.
Passo 5
Analogamente calculamos
.
Usando o mesmo raciocínio:
Assim
novamente em geral não nulo. Portanto
não comuta com
(salvo casos especiais).
Passo 6
Agora mostramos que
comuta com o componente total
.
Somando os comutadores dos passos anteriores:
Portanto
Isto mostra que
e
são compatíveis (comutam).
Passo 7
Mostrar que
comuta com
e
.
Tomemos por exemplo
. Usando a expansão de
,
O primeiro termo é zero. O segundo é zero porque operadores do subsistema 2 comutam com os do subsistema 1. No terceiro,
Mas
(subsistemas diferentes) e
(casimir), logo o terceiro termo também é zero. Portanto
Idêntico argumento dá
.
Passo 8
Mostrar que
e
comutam entre si.
-
trivial por serem operadores de subsistemas distintos. -
.
(primeiro zero porquecomuta com ; segundo porque são subsistemas diferentes). - Analogamente
.
Logo os três operadores
formam um conjunto de operadores que comutam mutuamente.
Passo 9
- O resultado matemático significa que não podemos, em geral, diagonalizar simultaneamente
e (ou ): eles são incompatíveis. Ou seja, um estado que é autoestado do momento total normalmente não será autoestado do componente ; medir o total projeta numa superposição de autovalores de . Fisicamente: ao “juntar” momentos angulares, o acoplamento mistura as projeções individuais. - Em contrapartida,
comuta com e com . Isso significa que podemos rotular estados simultaneamente por , onde e são os autovalores de e , é o autovalor de e é o autovalor de . Esses são os “bons números quânticos” quando se trata de momento angular total. - Praticamente: a base natural não acoplada
diagonaliza e então diagonaliza (com ), mas não . Para obter estados próprios de e usa-se a mudança de base dada pelos coeficientes de Clebsch–Gordan, que misturam os . Em palavras simples: o total é uma propriedade global que mistura as projeções individuais .
Resposta
Interpretação: