Considere os operadores momento angular \hat{\mathrm{J}}^{\prime} \hat{\mathrm{J}}_{1} e \hat{\mathrm{J}}_{2} tais que \hat{\mathrm{J}}=\hat{\mathrm{J}}_{1}+\hat{\mathrm{J}}_{2}. Mostre que \hat{\mathrm{J}}^{2} não comuta com \hat{\mathrm{J}}_{1 \mathrm{z}} e \hat{\mathrm{J}}_{2 \mathrm{z}}, mas comuta com \hat{\mathrm{J}}_{\mathrm{z}}=\hat{\mathrm{J}}_{1 \mathrm{z}}+\hat{\mathrm{J}}_{2 \mathrm{z}}, \hat{\mathrm{J}}_{1}{ }^{2} e \hat{\mathrm{J}}_{2}{ }^{2}. Mostre ainda que os operadores \hat{\mathrm{J}}_{1}{ }^{2}, \hat{\mathrm{~J}}_{2}{ }^{2} e \hat{\mathrm{J}}_{\mathrm{z}} comutam. Como você pode interpretar este resultado?

Passo 1

O enunciado dá dois operadores de momento angular \hat{\mathbf{J}}_{1} e \hat{\mathbf{J}}_{2} e o momento total
\hat{\mathbf{J}}=\hat{\mathbf{J}}_{1}+\hat{\mathbf{J}}_{2}.
Pede-se para mostrar:
  • que \hat{\mathbf{J}}^{2} não comuta com \hat{J}_{1z} e \hat{J}_{2z} (em geral);
  • que \hat{\mathbf{J}}^{2} comuta com \hat{J}_{z}=\hat{J}_{1z}+\hat{J}_{2z}, com \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} e com \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2};
  • que \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2},\hat{\mathbf{J}}_{2}^{2} e \hat{J}_{z} comutam entre si;
  • e pedir uma interpretação física deste resultado.
Vou usar apenas as informações do enunciado e as relações padrão de comutadores para momentos angulares.

Passo 2

Lembrar (aulas rápidas) das relações básicas de comutador para momentos angulares e do significado delas:
  • Para componentes do mesmo momento angular \hat{\mathbf{J}}_{i} vale
\big[ \hat{J}_{i\alpha}, \hat{J}_{i\beta} \big] = i\hbar\,\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}\,\hat{J}_{i\gamma},
onde i=1,2 e \alpha,\beta,\gamma\in\{x,y,z\}. Aqui \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} é o símbolo de Levi-Civita.
  • Componentes de momentos de partículas/sistemas diferentes comutam:
\big[ \hat{J}_{1\alpha}, \hat{J}_{2\beta} \big]=0\quad\text{para todos \(\alpha,\beta\).}
Isto porque atuam em espaços de Hilbert distintos (produto tensorial).
  • Importante: \hat{\mathbf{J}}_{i}^{2}=\hat{J}_{ix}^{2}+\hat{J}_{iy}^{2}+\hat{J}_{iz}^{2} comuta com todas as componentes do mesmo i:
\big[ \hat{\mathbf{J}}_{i}^{2}, \hat{J}_{i\alpha} \big]=0\quad\text{(para todo \(\alpha\)).}
Isto é padrão: \hat{\mathbf{J}}_{i}^{2} é um casimir para o álgebra su(2) do subsistema i.

Passo 3

Escrevemos \hat{\mathbf{J}}^{2} expandido em termos de \hat{\mathbf{J}}_{1} e \hat{\mathbf{J}}_{2}:
\hat{\mathbf{J}}^{2}=(\hat{\mathbf{J}}_{1}+\hat{\mathbf{J}}_{2})^{2} =\hat{\mathbf{J}}_{1}^{2}+\hat{\mathbf{J}}_{2}^{2}+2\,\hat{\mathbf{J}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{J}}_{2},
onde
\hat{\mathbf{J}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{J}}_{2}=\hat{J}_{1x}\hat{J}_{2x}+\hat{J}_{1y}\hat{J}_{2y}+\hat{J}_{1z}\hat{J}_{2z}.

Passo 4

Calcular o comutador \big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{1z} \big].
Usando a expansão:
\big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{1z} \big] =\big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2}, \hat{J}_{1z} \big] +\big[ \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2}, \hat{J}_{1z} \big] +2\big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{J}}_{2}, \hat{J}_{1z} \big].
  • O primeiro termo é zero porque \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} comuta com todas as componentes de \hat{\mathbf{J}}_{1}:
\big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2}, \hat{J}_{1z} \big]=0.
  • O segundo termo é zero porque \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2} atua no subsistema 2 e comuta com operadores do subsistema 1:
\big[ \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2}, \hat{J}_{1z} \big]=0.
  • O único potencialmente não nulo é o terceiro:
\big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{J}}_{2}, \hat{J}_{1z} \big] =\sum_{\alpha\in\{x,y,z\}}\big[ \hat{J}_{1\alpha}\hat{J}_{2\alpha}, \hat{J}_{1z} \big].
Expandindo um termo genérico:
\big[ \hat{J}_{1\alpha}\hat{J}_{2\alpha}, \hat{J}_{1z} \big] = \big[ \hat{J}_{1\alpha}, \hat{J}_{1z} \big]\hat{J}_{2\alpha} + \hat{J}_{1\alpha}\big[ \hat{J}_{2\alpha}, \hat{J}_{1z} \big].
Mas \big[ \hat{J}_{2\alpha}, \hat{J}_{1z} \big]=0 (subsistemas diferentes), então
\big[ \hat{J}_{1\alpha}\hat{J}_{2\alpha}, \hat{J}_{1z} \big] = \big[ \hat{J}_{1\alpha}, \hat{J}_{1z} \big]\hat{J}_{2\alpha}.
Agora usamos \big[ \hat{J}_{1\alpha}, \hat{J}_{1z} \big]= i\hbar\,\varepsilon_{\alpha z \beta}\,\hat{J}_{1\beta}. Somando os três valores de \alpha obtemos, após calcular componentes,
\big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{J}}_{2}, \hat{J}_{1z} \big] = i\hbar\big(\hat{J}_{1x}\hat{J}_{2y}-\hat{J}_{1y}\hat{J}_{2x}\big) = i\hbar\big(\hat{\mathbf{J}}_{1}\times\hat{\mathbf{J}}_{2}\big)_{z}.
Portanto
\big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{1z} \big] =2\,i\hbar\big(\hat{\mathbf{J}}_{1}\times\hat{\mathbf{J}}_{2}\big)_{z}.
Em geral isto não é zero (salvo casos especiais), então \hat{\mathbf{J}}^{2} não comuta com \hat{J}_{1z}.

Passo 5

Analogamente calculamos \big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{2z} \big].
Usando o mesmo raciocínio:
\big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{J}}_{2}, \hat{J}_{2z} \big] =\sum_{\alpha}\hat{J}_{1\alpha}\big[ \hat{J}_{2\alpha}, \hat{J}_{2z} \big] = i\hbar\big(\hat{J}_{1y}\hat{J}_{2x}-\hat{J}_{1x}\hat{J}_{2y}\big) = -i\hbar\big(\hat{\mathbf{J}}_{1}\times\hat{\mathbf{J}}_{2}\big)_{z}.
Assim
\big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{2z} \big] =2\,\big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{J}}_{2}, \hat{J}_{2z} \big] =-2\,i\hbar\big(\hat{\mathbf{J}}_{1}\times\hat{\mathbf{J}}_{2}\big)_{z},
novamente em geral não nulo. Portanto \hat{\mathbf{J}}^{2} não comuta com \hat{J}_{2z} (salvo casos especiais).

Passo 6

Agora mostramos que \hat{\mathbf{J}}^{2} comuta com o componente total \hat{J}_{z}=\hat{J}_{1z}+\hat{J}_{2z}.
Somando os comutadores dos passos anteriores:
\big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{z} \big] =\big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{1z} \big]+\big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{2z} \big] =2i\hbar\big(\hat{\mathbf{J}}_{1}\times\hat{\mathbf{J}}_{2}\big)_{z} -2i\hbar\big(\hat{\mathbf{J}}_{1}\times\hat{\mathbf{J}}_{2}\big)_{z}=0.
Portanto
\big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{z} \big]=0.
Isto mostra que \hat{\mathbf{J}}^{2} e \hat{J}_{z} são compatíveis (comutam).

Passo 7

Mostrar que \hat{\mathbf{J}}^{2} comuta com \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} e \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2}.
Tomemos por exemplo \big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big]. Usando a expansão de \hat{\mathbf{J}}^{2},
\big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big] =\big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big] +\big[ \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big] +2\big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{J}}_{2}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big].
O primeiro termo é zero. O segundo é zero porque operadores do subsistema 2 comutam com os do subsistema 1. No terceiro,
\big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}\cdot\hat{\mathbf{J}}_{2}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big] =\sum_{\alpha}\big[ \hat{J}_{1\alpha}\hat{J}_{2\alpha}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big] =\sum_{\alpha}\big[ \hat{J}_{1\alpha}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big]\hat{J}_{2\alpha} + \hat{J}_{1\alpha}\big[ \hat{J}_{2\alpha}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big].
Mas \big[ \hat{J}_{2\alpha}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big]=0 (subsistemas diferentes) e \big[ \hat{J}_{1\alpha}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big]=0 (casimir), logo o terceiro termo também é zero. Portanto
\big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} \big]=0.
Idêntico argumento dá \big[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2} \big]=0.

Passo 8

Mostrar que \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2},\hat{\mathbf{J}}_{2}^{2} e \hat{J}_{z} comutam entre si.
  • \big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2}, \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2} \big]=0 trivial por serem operadores de subsistemas distintos.
  • \big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2}, \hat{J}_{z} \big] = \big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2}, \hat{J}_{1z} \big] + \big[ \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2}, \hat{J}_{2z} \big] = 0 + 0 = 0.
    (primeiro zero porque \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} comuta com \hat{J}_{1z}; segundo porque são subsistemas diferentes).
  • Analogamente \big[ \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2}, \hat{J}_{z} \big]=0.
Logo os três operadores \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2},\hat{\mathbf{J}}_{2}^{2},\hat{J}_{z} formam um conjunto de operadores que comutam mutuamente.

Passo 9

  • O resultado matemático significa que não podemos, em geral, diagonalizar simultaneamente \hat{\mathbf{J}}^{2} e \hat{J}_{1z} (ou \hat{J}_{2z} ): eles são incompatíveis. Ou seja, um estado que é autoestado do momento total \hat{\mathbf{J}}^{2} normalmente não será autoestado do componente \hat{J}_{1z}; medir o total projeta numa superposição de autovalores de \hat{J}_{1z}. Fisicamente: ao “juntar” momentos angulares, o acoplamento mistura as projeções individuais.
  • Em contrapartida, \hat{\mathbf{J}}^{2} comuta com \hat{J}_{z} e com \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2},\hat{\mathbf{J}}_{2}^{2}. Isso significa que podemos rotular estados simultaneamente por j_{1},j_{2},j,m, onde j_{1}(j_{1}+1)\hbar^{2} e j_{2}(j_{2}+1)\hbar^{2} são os autovalores de \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} e \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2}, j(j+1)\hbar^{2} é o autovalor de \hat{\mathbf{J}}^{2} e m\hbar é o autovalor de \hat{J}_{z}. Esses são os “bons números quânticos” quando se trata de momento angular total.
  • Praticamente: a base natural não acoplada \{ |j_{1} m_{1}\rangle\otimes|j_{2} m_{2}\rangle \} diagonaliza \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2},\hat{\mathbf{J}}_{2}^{2},\hat{J}_{1z},\hat{J}_{2z} e então diagonaliza \hat{J}_{z} (com m=m_{1}+m_{2}), mas não \hat{\mathbf{J}}^{2}. Para obter estados próprios de \hat{\mathbf{J}}^{2} e \hat{J}_{z} usa-se a mudança de base dada pelos coeficientes de Clebsch–Gordan, que misturam os m_{1},m_{2}. Em palavras simples: o total j é uma propriedade global que mistura as projeções individuais m_{1},m_{2}.

Resposta

[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{1z} ] = 2i\hbar\,(\hat{\mathbf{J}}_{1}\times\hat{\mathbf{J}}_{2})_{z} \neq 0 em geral.
[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{2z} ] = -2i\hbar\,(\hat{\mathbf{J}}_{1}\times\hat{\mathbf{J}}_{2})_{z} \neq 0 em geral.
[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{J}_{z} ] = 0.
[ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2} ] = [ \hat{\mathbf{J}}^{2}, \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2} ] = 0.
[ \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2}, \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2} ] = [ \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2}, \hat{J}_{z} ] = [ \hat{\mathbf{J}}_{2}^{2}, \hat{J}_{z} ] = 0.
Interpretação: \hat{\mathbf{J}}_{1}^{2},\hat{\mathbf{J}}_{2}^{2},\hat{\mathbf{J}}^{2},\hat{J}_{z} dão os rótulos (bons números quânticos) naturais para o problema de acoplamento de momentos angulares; porém \hat{\mathbf{J}}^{2} não é compatível com as projeções individuais \hat{J}_{1z},\hat{J}_{2z}, o que exige a combinação (via coeficientes de Clebsch–Gordan) das bases não-acopladas para formar autovetores do momento total.

Exercícios relacionados