Calcule os autovalores do seguinte hamiltoniano: \hat{H}=\frac{L_{x}^{2}}{2 I_{1}}+\frac{L_{y}^{2}}{2 I_{2}}+\frac{L_{z}^{2}}{2 I_{3}}
quando o número quântico associado ao momento angular orbital do sistema é \ell=1.
Sugestão: Escreva este hamiltoniano na representação de \hat{\mathbf{L}}^{2} e \hat{\mathrm{L}}_{z} com os autovalores correspondentes. Use a forma matricial dos operadores \hat{\mathrm{L}}_{+}e \hat{\mathrm{L}}_{-}. para escrever as componentes x e y do momento angular.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores (valores de energia) do Hamiltoniano
no subespaço com número quântico \ell=1. Informações dadas e o que vamos usar:
Trabalhar na base dos autoestados comuns de \hat{\mathbf{L}}^2 e \hat{L}_z: \{\,|\ell=1,m=1\rangle,\;|1,0\rangle,\;|1,-1\rangle\,\}.
Preciso montar a matriz de \hat{H} nessa base e achar seus autovalores.
Vou usar as relações entre \hat{L}_x,\hat{L}_y e os operadores de subida/descida \hat{L}_\pm e as fórmulas padrão de ação de \hat{L}_\pm sobre |\ell,m\rangle.
Passo 2
Recordando as fórmulas básicas (explicando como e por quê):
Os autovalores de \hat{\mathbf{L}}^2 e \hat{L}_z são
Aqui o termo 2\hbar^2 A é apenas uma constante multiplicativa (porque \hat{\mathbf{L}}^2=2\hbar^2 em \ell=1) que contribui para as componentes diagonais.
Passo 5
Agora vamos montar a matriz de \hat{H} na base \{|1,1\rangle,|1,0\rangle,|1,-1\rangle\}. Primeiro os elementos diagonais:
para um estado |1,m\rangle,
\langle 1,m|\hat{H}|1,m\rangle = \hbar^2\Big[ A(2-m^2)+ B m^2\Big],
porque \hat{L}_z^2|1,m\rangle=\hbar^2 m^2|1,m\rangle e \hat{\mathbf{L}}^2=2\hbar^2. Substituindo m=1,0,-1 dá
(cálculo: E\cdot 2\hbar^2 = \frac{1}{8}(\frac{1}{I_1}-\frac{1}{I_2})\cdot 2\hbar^2 = \hbar^2\frac{1}{4}(\frac{1}{I_1}-\frac{1}{I_2})).
Os outros elementos fora da diagonal são zero. Portanto a matriz de \hat{H} (fator \hbar^2 à frente) é