Escreva as autofunções \left|\mathrm{j}_{1} \mathrm{j}_{2} \mathrm{jm}\right\rangle de \hat{\mathbf{J}}^{\mathbf{2}} e \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}} em termos das autofunções \left|\mathrm{j}_{1} \mathrm{j}_{2} \mathrm{~m}_{1} \mathrm{~m}_{2}\right\rangle para o caso de dois momentos angulares \mathrm{j}_{1}=1 e \mathrm{j}_{2}=1 / 2.
Passo 1
O enunciado pede: escrever as autofunções \left|j_{1} j_{2} j m\right\rangle (autovetores comuns de \hat{\mathbf{J}}^{2} e \hat{J}_{z}) em termos da base produto \left|j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}\right\rangle, para o caso j_{1}=1 e j_{2}=\tfrac{1}{2}.
Informações e objetivos concretos que temos:
j_{1}=1, logo m_{1}\in\{-1,0,1\}.
j_{2}=\tfrac{1}{2}, logo m_{2}\in\{-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\}.
Ao somar dois momentos angulares j_{1} e j_{2} os valores permitidos de j são j= j_{1}+j_{2}, j_{1}+j_{2}-1, \dots, |j_{1}-j_{2}|. Portanto neste caso os j possíveis são
j=\tfrac{3}{2} com m\in\{\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\},
j=\tfrac{1}{2} com m\in\{\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\}.
Para cada \left|j_{1} j_{2} j m\right\rangle queremos escrever\left|j_{1} j_{2} j m\right\rangle=\sum_{m_{1},m_{2}} C^{\,j m}_{\,j_{1} m_{1}\, j_{2} m_{2}}\;\left|j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}\right\rangle,onde a soma é sobre pares (m_{1},m_{2}) com m_{1}+m_{2}=m. O objetivo é achar explicitamente os coeficientes C^{\,j m}_{\,j_{1} m_{1}\, j_{2} m_{2}} para j_{1}=1,\;j_{2}=\tfrac12.
A resolução efetiva começa no Passo 2.
Passo 2
Conceitos essenciais (explicação didática e passo a passo do que vamos usar):
Quando se adicionam dois momentos angulares, os estados comuns \left|j_{1} j_{2} j m\right\rangle são combinações lineares ortonormais dos estados produto \left|j_{1} j_{2} m_{1} m_{2}\right\rangle com a restrição m_{1}+m_{2}=m.
Os coeficientes C^{\,j m}_{\,j_{1} m_{1}\, j_{2} m_{2}} são os chamados coeficientes de Clebsch–Gordan (CGC). Eles satisfazem propriedades de normalização e ortogonalidade:\sum_{m_{1},m_{2}} C^{\,j m}_{\,j_{1} m_{1}\, j_{2} m_{2}} \, C^{\,j' m'}_{\,j_{1} m_{1}\, j_{2} m_{2}} = \delta_{j j'}\delta_{m m'}.
Método prático e frequentemente usado em provas: construir primeiro o estado de maior m (o “highest weight”) que é trivial quando m_{\max}=j_{1}+j_{2} — esse estado é apenas o produto dos dois estados de máxima projeção. Depois usa-se o operador abaixador total \hat{J}_{-}=\hat{J}_{1-}+\hat{J}_{2-} para gerar os estados com m-1. Esse procedimento determina os CGC (até sinais de fase que podem ser fixados pela convenção de Condon–Shortley — usaremos a convenção usual em que o coeficiente do highest-weight é positivo).
Fórmula útil do operador abaixador num nível elementar: para um operador \hat{J}_{-} atuando em |j,m\rangle\hat{J}_{-}\,|j,m\rangle=\sqrt{j(j+1)-m(m-1)}\;|j,m-1\rangle.E, quando \hat{J}_{1-} atua sobre |j_{1},m_{1}\rangle,\hat{J}_{1-}\,|j_{1},m_{1}\rangle=\sqrt{j_{1}(j_{1}+1)-m_{1}(m_{1}-1)}\;|j_{1},m_{1}-1\rangle,idem para \hat{J}_{2-}.
Com essas ideias, vamos construir explicitamente os estados para j=\tfrac{3}{2} (começando pelo m=\tfrac{3}{2}) e depois obter os de m=\tfrac{1}{2} aplicando \hat{J}_{-}. Depois obtenho os estados ortogonais que correspondem a j=\tfrac{1}{2} (no mesmo subespaço de m) usando ortogonalidade e normalização. Por simetria aplico o mesmo raciocínio para os m negativos.
Passo 3
Estado de maior projeção para j=\tfrac{3}{2}:
O maior m possível é m=\tfrac{3}{2}=1+\tfrac{1}{2}. Nesse caso só existe um par (m_{1},m_{2}) tal que m_{1}+m_{2}=\tfrac{3}{2}, que é m_{1}=1,\;m_{2}=\tfrac{1}{2}.
Pela construção do highest-weight:\left|1,\tfrac12;\tfrac32,\tfrac32\right\rangle = \left|1,\tfrac12; m_{1}=1,\; m_{2}=\tfrac12\right\rangle.Isso é direto: o estado combinado de maior m é o produto dos estados de maiores projeções.
Passo 4
Obter \left|1,\tfrac12;\tfrac32,\tfrac12\right\rangle aplicando \hat{J}_{-} e relacionando com a base produto.
Calcular \hat{J}_{1-}\left|1,1\right\rangle: pelo fator de abaixamento\hat{J}_{1-}\left|1,1\right\rangle=\sqrt{1(1+1)-1(1-1)}\;|1,0\rangle=\sqrt{2}\;|1,0\rangle.
Esse passo determinou dois CGC para o caso j=\tfrac32,\;m=\tfrac12.
Passo 5
Determinar o estado ortogonal no mesmo subespaço m=\tfrac{1}{2}, que corresponde a j=\tfrac{1}{2}.
No subespaço com m=\tfrac12 há duas base produto independentes: \left|1,\tfrac12;0,\tfrac12\right\rangle e \left|1,\tfrac12;1,-\tfrac12\right\rangle.
Já conhecemos a combinação normalizada que dá j=\tfrac32:v_{3/2}=\sqrt{\tfrac{2}{3}}\;|0,\tfrac12\rangle + \sqrt{\tfrac{1}{3}}\;|1,-\tfrac12\rangle(aqui escrevo concisamente |m_{1},m_{2}\rangle para as duas bases do subespaço).
O estado ortogonal normalizado a v_{3/2} no mesmo subespaço é (resolver c_{1}\sqrt{\tfrac{2}{3}}+c_{2}\sqrt{\tfrac{1}{3}}=0 e normalizar):v_{1/2}=-\sqrt{\tfrac{1}{3}}\;|0,\tfrac12\rangle + \sqrt{\tfrac{2}{3}}\;|1,-\tfrac12\rangle.
Em notação completa:\left|1,\tfrac12;\tfrac12,\tfrac12\right\rangle = -\sqrt{\tfrac{1}{3}}\;\left|1,\tfrac12;0,\tfrac12\right\rangle + \sqrt{\tfrac{2}{3}}\;\left|1,\tfrac12;1,-\tfrac12\right\rangle.
Esse é o estado j=\tfrac12, m=\tfrac12. Observação: o sinal global de um estado é irrelevante; aqui escolhemos a convenção que torna a construção consistente com o passo anterior.
Passo 6
Estados com m<0 (simetria por inversão de sinal de projeções) — construir a partir do lowest/highest weight simetricamente.
O menor m para j=\tfrac32 é m=-\tfrac32 e é o produto |1,-1;\tfrac12,-\tfrac12\rangle:\left|1,\tfrac12;\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle = \left|1,\tfrac12;-1,-\tfrac12\right\rangle.
Aplicando \hat{J}_{+} (o operador levantador) ao lowest-weight obtemos, por simetria análoga ao Passo 4,\left|1,\tfrac12;\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle = \sqrt{\tfrac{2}{3}}\;\left|1,\tfrac12;0,-\tfrac12\right\rangle + \sqrt{\tfrac{1}{3}}\;\left|1,\tfrac12;-1,\tfrac12\right\rangle.
O estado ortogonal normalizado no subespaço m=-\tfrac12 (que é j=\tfrac12,\;m=-\tfrac12) é\left|1,\tfrac12;\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle = -\sqrt{\tfrac{1}{3}}\;\left|1,\tfrac12;0,-\tfrac12\right\rangle + \sqrt{\tfrac{2}{3}}\;\left|1,\tfrac12;-1,\tfrac12\right\rangle.
Esses resultados completam todas as combinações necessárias (todas as projeções m para j=\tfrac32 e j=\tfrac12).