Considere os operadores T e L em \mathbb{R}^{2} definidos por T(x, y)=(x-y, x) e L(x, y)=(x, 0). Determine:
T^{2}

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad T(x,y) = (\,x - y,\;x\,)
e pede para determinar T^2, isto é, a composição
T^2 = T \circ T.
Para isso, vamos aplicar T duas vezes em um vetor genérico (x,y).

Passo 2

Primeiro, aplicamos T em (x,y). Por definição,
T(x,y) = (\,x - y,\;x\,).
Chamemos
(u,v) = T(x,y),
portanto
u = x - y, \quad v = x.

Passo 3

Agora aplicamos T novamente em (u,v). Usando a mesma regra,
T(u,v) = (\,u - v,\;u\,).
Substituindo u = x - y e v = x, obtemos
u - v = (x - y) - x = -\,y, \quad u = x - y.
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T^2(x,y) = T\bigl(u,v\bigr) = \bigl(-\,y,\;x - y\bigr).

Resposta

T^2(x,y) = \bigl(-y,\;x - y\bigr).

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