Mostre que a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(p)=(p(0), p(1), p(-1)) é injetora e sobrejetora. Dê a matriz de T em relação às respetivas bases canônicas dos espaços.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon P_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{3},\quad T(p) = \bigl(p(0),\,p(1),\,p(-1)\bigr).
O espaço P_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 3 (polinômios de grau <=2) e \mathbb{R}^{3} também tem dimensão 3. Precisamos mostrar que T é injetora e sobrejetora e, em seguida, obter sua matriz em relação às bases canônicas \{1,x,x^{2}\} de P_{2}(\mathbb{R}) e \{e_{1},e_{2},e_{3}\} de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Para mostrar que T é injetora, examinamos seu núcleo: se p\in \ker T, então
p(0)=0,\quad p(1)=0,\quad p(-1)=0.
Como p é polinômio de grau <=2 com três raízes distintas, segue que p é o polinômio zero. Logo \ker T=\{0\} e T é injetora.

Passo 3

Pela fórmula do posto e nulidade,
\dim P_{2} = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T
temos \dim\ker T=0, logo \dim\operatorname{Im}T=3. Como \operatorname{Im}T é subespaço de \mathbb{R}^{3} de dimensão 3, segue \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^{3}. Assim, T é sobrejetora.

Passo 4

Agora vamos montar a matriz de T. Tomamos a base canônica de P_{2}(\mathbb{R}), \{1,x,x^{2}\}, e a base canônica de \mathbb{R}^{3}, \{e_{1},e_{2},e_{3}\}. Calculamos:
T(1) = \bigl(1,1,1\bigr),\quad T(x) = \bigl(0,1,-1\bigr),\quad T(x^{2}) = \bigl(0,1,1\bigr).
Esses vetores formam, na ordem, as colunas da matriz de T. Portanto, em bloco,
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix},
onde a coluna 1 é T(1), a coluna 2 é T(x) e a coluna 3 é T(x^{2}).

Resposta

T é bijetora (injetora e sobrejetora) e sua matriz na base canônica é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados