Mostre que a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(p)=(p(0), p(1), p(-1)) é injetora e sobrejetora. Dê a matriz de T em relação às respetivas bases canônicas dos espaços.
O espaço P_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 3 (polinômios de grau <=2) e \mathbb{R}^{3} também tem dimensão 3. Precisamos mostrar que T é injetora e sobrejetora e, em seguida, obter sua matriz em relação às bases canônicas \{1,x,x^{2}\} de P_{2}(\mathbb{R}) e \{e_{1},e_{2},e_{3}\} de \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Para mostrar que T é injetora, examinamos seu núcleo: se p\in \ker T, então
p(0)=0,\quad p(1)=0,\quad p(-1)=0.
Como p é polinômio de grau <=2 com três raízes distintas, segue que p é o polinômio zero. Logo \ker T=\{0\} e T é injetora.
Passo 3
Pela fórmula do posto e nulidade,
\dim P_{2} = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T
temos \dim\ker T=0, logo \dim\operatorname{Im}T=3. Como \operatorname{Im}T é subespaço de \mathbb{R}^{3} de dimensão 3, segue \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^{3}. Assim, T é sobrejetora.
Passo 4
Agora vamos montar a matriz de T. Tomamos a base canônica de P_{2}(\mathbb{R}), \{1,x,x^{2}\}, e a base canônica de \mathbb{R}^{3}, \{e_{1},e_{2},e_{3}\}. Calculamos: