Um pêndulo é composto por uma massa puntiforme de
, suspensa por um fio inextensível de comprimento
. O pêndulo oscila com uma pequena amplitude de
. A energia mecânica total
do sistema, para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, é aproximadamente igual a
onde
é o ângulo com a vertical e
é a velocidade angular. Qual é o valor da energia E? Considere a aceleração da gravidade
.
(a)
(b)
(c)
(d) 1 J
(e) 10 J
(a)
(b)
(c)
(d) 1 J
(e) 10 J
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede para calcular a energia mecânica total
do pêndulo nas pequenas oscilações:
- massa:
- comprimento do fio:
- amplitude (deslocamento linear máximo):
(o enunciado deu em metros) - aceleração da gravidade:
- a expressão aproximada da energia mecânica é
O que o problema pede: calcular o valor numérico de
para a amplitude dada. Observação importante do enunciado: amplitude foi dada em metros (
), portanto precisamos relacioná-la com o ângulo
usado na fórmula.
Passo 2
Transformar a amplitude linear
em amplitude angular
.
Explicação didática: para um pêndulo, o deslocamento ao longo do arco (distância percorrida sobre a circunferência) é dado por
onde
é o deslocamento ao longo do arco (em metros) e
é o ângulo em radianos. Essa relação vem da definição de arco em círculos: arco = raio
ângulo (ângulo em radianos).
Como o enunciado nos deu a amplitude linear máxima
(ou seja
), a amplitude angular máxima é
Substituindo os números:
Comentário:
é um ângulo muito pequeno, então a aproximação de pequenas oscilações é válida.
Passo 3
Aproximação para a energia potencial para pequenas oscilações.
Explicação didática: a energia potencial gravitacional do pêndulo relativa à posição de equilíbrio (vertical) é exatamente
Para ângulos pequenos podemos usar a aproximação em série de Taylor de
em torno de
:
Substituindo na expressão de
,
Observação: essa é exatamente o termo de energia potencial que aparece na fórmula dada no enunciado; por isso a expressão aproximada fornecida é consistente.
Passo 4
Usar conservação de energia e escolher o instante conveniente para avaliar
.
Explicação didática: a energia mecânica total
é conservada (sem atrito). Em qualquer instante vale
No extremo da oscilação (
) a velocidade angular é nula (
), então toda a energia está na forma potencial. Portanto basta avaliar
em
:
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular
passo a passo.
Calcule
:
Calcule o produto
:
Agora calcule
:
Passo 6
Verificação rápida e dica para a prova: a ordem de grandeza faz sentido — amplitude muito pequena dá energia muito pequena. Alternativamente poderíamos ter usado o valor máximo da energia cinética (quando
) e obtido o mesmo resultado. Fica a dica: quando tiver amplitude conhecida, use o estado em que a velocidade é zero (extremo) para obter
facilmente.
Força aí — você conseguiu! 😊
Resposta
(b)