Um pêndulo é composto por uma massa puntiforme de m=2 \mathrm{~kg}, suspensa por um fio inextensível de comprimento L=10 \mathrm{~m}. O pêndulo oscila com uma pequena amplitude de A=0.1 \mathrm{~m}. A energia mecânica total E do sistema, para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, é aproximadamente igual a
E=\frac{1}{2} m L^{2} \dot{\theta}^{2}+\frac{1}{2} m g L \theta^{2}
onde \theta é o ângulo com a vertical e \dot{\theta} é a velocidade angular. Qual é o valor da energia E? Considere a aceleração da gravidade g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) 0,001 \mathrm{~J}
(b) 0,01 \mathrm{~J}
(c) 0,1 \mathrm{~J}
(d) 1 J
(e) 10 J

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede para calcular a energia mecânica total E do pêndulo nas pequenas oscilações:
  • massa: m=2\\ \mathrm{kg}
  • comprimento do fio: L=10\\ \mathrm{m}
  • amplitude (deslocamento linear máximo): A=0,1\\ \mathrm{m} (o enunciado deu A em metros)
  • aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}
  • a expressão aproximada da energia mecânica é
E=\frac{1}{2} m L^{2} \dot{\theta}^{2}+\frac{1}{2} m g L \theta^{2}.
O que o problema pede: calcular o valor numérico de E para a amplitude dada. Observação importante do enunciado: amplitude foi dada em metros ( A), portanto precisamos relacioná-la com o ângulo \theta usado na fórmula.

Passo 2

Transformar a amplitude linear A em amplitude angular \theta_{\max}.
Explicação didática: para um pêndulo, o deslocamento ao longo do arco (distância percorrida sobre a circunferência) é dado por
s=L\theta,
onde s é o deslocamento ao longo do arco (em metros) e \theta é o ângulo em radianos. Essa relação vem da definição de arco em círculos: arco = raio \times ângulo (ângulo em radianos).
Como o enunciado nos deu a amplitude linear máxima A (ou seja s_{\max}=A), a amplitude angular máxima é
\theta_{\max}=\frac{A}{L}.
Substituindo os números:
\theta_{\max}=\frac{0,1}{10}=0,01\\ \text{rad}.
Comentário: 0,01\\ \text{rad} é um ângulo muito pequeno, então a aproximação de pequenas oscilações é válida.

Passo 3

Aproximação para a energia potencial para pequenas oscilações.
Explicação didática: a energia potencial gravitacional do pêndulo relativa à posição de equilíbrio (vertical) é exatamente
U(\theta)=m g L\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Para ângulos pequenos podemos usar a aproximação em série de Taylor de \cos\theta em torno de \theta=0:
\cos\theta \approx 1-\frac{\theta^{2}}{2}\quad\text{(mantendo o termo até segunda ordem)}.é
Substituindo na expressão de U,
U(\theta)\approx m g L\left(1-\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}\right)\right)=\frac{1}{2}m g L \theta^{2}.
Observação: essa é exatamente o termo de energia potencial que aparece na fórmula dada no enunciado; por isso a expressão aproximada fornecida é consistente.

Passo 4

Usar conservação de energia e escolher o instante conveniente para avaliar E.
Explicação didática: a energia mecânica total E é conservada (sem atrito). Em qualquer instante vale
E=\frac{1}{2} m L^{2} \dot{\theta}^{2}+\frac{1}{2} m g L \theta^{2}.
No extremo da oscilação ( \theta=\theta_{\max}) a velocidade angular é nula ( \dot{\theta}=0), então toda a energia está na forma potencial. Portanto basta avaliar U em \theta_{\max}:
E=U(\theta_{\max})=\frac{1}{2} m g L \theta_{\max}^{2}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular E passo a passo.
Calcule \theta_{\max}^{2}:
\theta_{\max}^{2}=(0,01)^{2}=0,0001.
Calcule o produto m g L:
m g L = 2 \times 10 \times 10 = 200.
Agora calcule E:
E=\frac{1}{2}\,m g L\,\theta_{\max}^{2}=\frac{1}{2}\times 200 \times 0,0001.
\frac{1}{2}\times 200 = 100,
E=100\times 0,0001=0,01\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Verificação rápida e dica para a prova: a ordem de grandeza faz sentido — amplitude muito pequena dá energia muito pequena. Alternativamente poderíamos ter usado o valor máximo da energia cinética (quando \theta=0) e obtido o mesmo resultado. Fica a dica: quando tiver amplitude conhecida, use o estado em que a velocidade é zero (extremo) para obter E facilmente.
Força aí — você conseguiu! 😊

Resposta

(b) 0,01\\ \mathrm{J}

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