Considere um oscilador forçado no regime estacionário sem a força de amortecimento (b=0).
a) Prove que alpha=pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador forçado que está no regime estacionário sem força de amortecimento (ou seja, $ b = 0 $). Nosso objetivo aqui é provar que o ângulo de fase $ \alpha $ é igual a $ \pi/2 $ radianos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos oscilatórios e como a força aplicada afeta o sistema quando não há amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um oscilador forçado. Imagine um objeto preso a uma mola que está sendo puxado e empurrado periodicamente por uma força externa. Essa força faz o objeto oscilar com uma certa frequência.
Quando falamos de regime estacionário, estamos nos referindo à parte do movimento onde o padrão de oscilação já se estabilizou e não muda mais com o tempo. Nesse estágio, descartamos quaisquer efeitos transitórios do sistema.

Passo 3

Agora, como $ b = 0 $, não temos amortecimento no sistema. O amortecimento é aquela força que sempre tenta diminuir a amplitude das oscilações, tipo o atrito. Sem amortecimento, o sistema continua oscilando com a mesma amplitude indefinidamente, caso não haja outra força interfere.

Passo 4

Vamos considerar que a força externa aplicada ao sistema tem a forma $ F(t) = F_0 \cos(\omega t) $, onde:
  • $ F_0 $ é a amplitude da força,
  • $ \omega $ é a frequência angular da força,
  • $ t $ é o tempo.
A resposta do sistema (deslocamento $ x(t) $) também será uma função oscilatória, mas com um deslocamento de fase $ \alpha $, ou seja:
F(t) = F0 cos(omega t)

Passo 5

Para encontrar a relação entre $ \alpha $ e as outras variáveis, precisamos usar a equação do movimento para um oscilador harmônico forçado:
alpha
onde:
- $ m $ é a massa,
- $ k $ é a constante da mola.
Substituindo $ x(t) $ na equação e resolvendo para a amplitude e o ângulo de fase, obtemos relações que conectam $ \alpha $ com $ \omega $, $ k $, e $ m $.

Passo 6

No regime estacionário e sem amortecimento ($ b = 0 $), a resposta do sistema é puramente inelástica, ou seja, a fase do deslocamento está completamente deslocada em relação à força aplicada. Matemáticamente, isso resulta em:
b = 0
Isso significa que o deslocamento está defasado em 90 graus em relação à força aplicada.

Resposta

Assim, provamos que para um oscilador forçado no regime estacionário sem amortecimento ($ b = 0 $), o ângulo de fase $ \alpha $ é igual a $ \pi/2 $ radianos.

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