Mostre que
\Theta(\theta)=A \ln [\operatorname{tg}(\theta / 2)]
satisfaz a equação de
\theta
(Equação 4.25) para l=m=0. Essa é a ‘segunda solução’ inaceitável; o que há de errado com ela?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\Theta(\theta)=A \ln\!\bigl[\tan(\theta/2)\bigr]
satisfaz a equação angular (Equação 4.25) no caso l=m=0, e depois explicar por que essa solução é “inaceitável”. As informações relevantes que temos:
  • A função candidata é \Theta(\theta)=A \ln\!\bigl[\tan(\theta/2)\bigr], com A constante.
  • A equação angular geral (Equação 4.25) que vamos usar é
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\,\frac{d\Theta}{d\theta}\right) +\left[l(l+1)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta=0.
  • Precisamos avaliar essa equação para l=0 e m=0.

Passo 2

Substituir l=0 e m=0 na equação reduz a equação a uma forma muito simples. Para l=m=0 temos
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\,\frac{d\Theta}{d\theta}\right)=0.
Multiplicando ambos os lados por \sin\theta obtemos a equação equivalente
\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\,\frac{d\Theta}{d\theta}\right)=0.
Isto significa que \sin\theta\,\dfrac{d\Theta}{d\theta} é uma constante em \theta. Denotando essa constante por C,
\sin\theta\,\frac{d\Theta}{d\theta}=C.

Passo 3

A partir de \sin\theta\,\dfrac{d\Theta}{d\theta}=C isolamos \dfrac{d\Theta}{d\theta}:
\frac{d\Theta}{d\theta}=\frac{C}{\sin\theta}=C\csc\theta.
Agora integramos em relação a \theta. É útil lembrar a primitiva básica
\int \csc\theta\,d\theta=\ln\!\bigl[\tan(\theta/2)\bigr]+{\rm const}.
(Para ver isso rapidamente: ponha u=\theta/2. Então \dfrac{d}{d\theta}\ln\tan(\theta/2)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\operatorname{sec}^2 u}{\tan u}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sin u\cos u}=\dfrac{1}{\sin\theta}=\csc\theta.)
Logo a integral dá
\Theta(\theta)=C\ln\!\bigl[\tan(\theta/2)\bigr]+D,
onde D é uma constante de integração. Portanto a família de soluções gerais para l=m=0 é
\Theta(\theta)=D + C\ln\!\bigl[\tan(\theta/2)\bigr].
Escolhendo D=0 e C=A recuperamos exatamente a solução proposta
\Theta(\theta)=A\ln\!\bigl[\tan(\theta/2)\bigr].

Passo 4

Agora verificação direta: calcule a derivada de \Theta(\theta)=A\ln\!\bigl[\tan(\theta/2)\bigr]. Usando a identidade já mencionada,
\frac{d\Theta}{d\theta}=A\csc\theta.
Multiplicando por \sin\theta obtemos
\sin\theta\,\frac{d\Theta}{d\theta}=A,
que é constante. Tomando a derivada em \theta dessa expressão dá zero:
\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\,\frac{d\Theta}{d\theta}\right)=\frac{d}{d\theta}(A)=0.
Portanto a equação reduzida para l=m=0 é satisfeita. Concluímos que \Theta(\theta)=A\ln\!\bigl[\tan(\theta/2)\bigr] é, de fato, uma solução da equação para l=m=0.

Passo 5

Por que, apesar disso, essa solução é chamada de “inaceitável”? Explicação didática e intuitiva:
  • A solução apresenta singularidades nos extremos do intervalo físico \theta\in[0,\pi]. Usando o comportamento assintótico para pequenos \theta,
\tan(\theta/2)\sim \frac{\theta}{2}\quad(\theta\to 0^+),
logo
\ln\!\bigl[\tan(\theta/2)\bigr]\sim\ln\!\bigl(\theta/2\bigr)\to -\infty\quad(\theta\to 0^+).
Analogamente, perto de \theta=\pi tem-se \tan(\theta/2)\to\infty e
\ln\!\bigl[\tan(\theta/2)\bigr]\to +\infty\quad(\theta\to\pi^-).
Assim a função diverge nos polos \theta=0 e \theta=\pi.
  • Em problemas em que essa equação aparece (por exemplo ao derivar harmônicos esféricos regulares), a solução angular deve ser finita e regular em toda a esfera, especialmente nos polos. Uma solução que diverge nos polos não corresponde a um harmônico esférico físico normal; ela introduziria singularidades (fontes pontuais) nos polos e viola as condições de regularidade/contorno exigidas.
  • Em termos de funções de Legendre, essa segunda solução é a função de segunda espécie Q_\ell(x) (no caso \ell=0 a expressão reduz-se a um logaritmo): Q_0(\cos\theta)=\tfrac{1}{2}\ln\!\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}=\ln\tan(\theta/2). As funções Q_\ell(x) são singulares em x=\pm1 (ou seja, em \theta=0,\pi), por isso não são aceitas quando se exige regularidade em todo o domínio [-1,1].
  • Conclusão física: a solução válida e aceitável para l=m=0 é a solução regular, que aqui é a constante (escolhendo C=0 e D\neq0). A solução logarítmica existe matematicamente mas é descartada por não satisfazer as condições físicas/regularidade exigidas.

Resposta

Sim: \Theta(\theta)=A\ln\!\bigl[\tan(\theta/2)\bigr] satisfaz a equação angular para l=m=0.
Essa solução é inaceitável porque diverge em \theta=0 e \theta=\pi (ou seja, nos polos), violando a condição de regularidade exigida para as funções angulares físicas (os harmônicos esféricos regulares).

Exercícios relacionados