Mostre que
satisfaz a equação de
(Equação 4.25) para
. Essa é a ‘segunda solução’ inaceitável; o que há de errado com ela?
(Equação 4.25) para
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
satisfaz a equação angular (Equação 4.25) no caso
, e depois explicar por que essa solução é “inaceitável”. As informações relevantes que temos:
- A função candidata é
, com constante. - A equação angular geral (Equação 4.25) que vamos usar é
- Precisamos avaliar essa equação para
e .
Passo 2
Substituir
e
na equação reduz a equação a uma forma muito simples. Para
temos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a equação equivalente
Isto significa que
é uma constante em
. Denotando essa constante por
,
Passo 3
A partir de
isolamos
:
Agora integramos em relação a
. É útil lembrar a primitiva básica
(Para ver isso rapidamente: ponha
. Então
.)
Logo a integral dá
Logo a integral dá
onde
é uma constante de integração. Portanto a família de soluções gerais para
é
Escolhendo
e
recuperamos exatamente a solução proposta
Passo 4
Agora verificação direta: calcule a derivada de
. Usando a identidade já mencionada,
Multiplicando por
obtemos
que é constante. Tomando a derivada em
dessa expressão dá zero:
Portanto a equação reduzida para
é satisfeita. Concluímos que
é, de fato, uma solução da equação para
.
Passo 5
Por que, apesar disso, essa solução é chamada de “inaceitável”? Explicação didática e intuitiva:
- A solução apresenta singularidades nos extremos do intervalo físico
. Usando o comportamento assintótico para pequenos ,
logo
Analogamente, perto de
tem-se
e
Assim a função diverge nos polos
e
.
- Em problemas em que essa equação aparece (por exemplo ao derivar harmônicos esféricos regulares), a solução angular deve ser finita e regular em toda a esfera, especialmente nos polos. Uma solução que diverge nos polos não corresponde a um harmônico esférico físico normal; ela introduziria singularidades (fontes pontuais) nos polos e viola as condições de regularidade/contorno exigidas.
- Em termos de funções de Legendre, essa segunda solução é a função de segunda espécie
(no caso a expressão reduz-se a um logaritmo): . As funções são singulares em (ou seja, em ), por isso não são aceitas quando se exige regularidade em todo o domínio . - Conclusão física: a solução válida e aceitável para
é a solução regular, que aqui é a constante (escolhendo e ). A solução logarítmica existe matematicamente mas é descartada por não satisfazer as condições físicas/regularidade exigidas.
Resposta
Sim:
satisfaz a equação angular para
.
Essa solução é inaceitável porque diverge em e
(ou seja, nos polos), violando a condição de regularidade exigida para as funções angulares físicas (os harmônicos esféricos regulares).
Essa solução é inaceitável porque diverge em