2 Use a separação de variáveis em coordenadas cartesianas para resolver o poço cúbico infinito (ou ‘partícula em uma caixa’):
(a) Calcule os estados estacionários e suas energias correspondentes.
(b) Chame de
as energias distintas, em ordem crescente. Encontre
e
. Determine a degenerescência de cada um desses valores (ou seja, o número de estados distintos que compartilham da mesma energia).
Comentário: em uma dimensão, não ocorrem estados ligados degenerados (veja Ref. [1], Problema 2.45), porém, em três dimensões eles são muito comuns.
(c) Qual é a degenerescência de
e por que esse caso é interessante?
(b) Chame de
Comentário: em uma dimensão, não ocorrem estados ligados degenerados (veja Ref. [1], Problema 2.45), porém, em três dimensões eles são muito comuns.
(c) Qual é a degenerescência de
Passo 1
O enunciado dá um potencial poço cúbico infinito:
E pede:
- (a) calcular os estados estacionários e suas energias correspondentes;
- (b) enumerar as energias distintas
e achar e a degenerescência de cada uma; - (c) achar a degenerescência de
e explicar por que esse caso é interessante.
Informações relevantes que nos dão (e que vamos usar):
- Dentro da caixa
, fora dela (condição de contorno física porque ). - A equação de Schrödinger independente do tempo é
- Procuramos funções normais e regulares em
que se anulem nas paredes (em , , ).]
Passo 2
Separação de variáveis — ideia e aplicação: suponha solução produto
Dentro da caixa
a E.T.I. (equação de Schrödinger independente do tempo) fica
Substituindo
e dividindo por
obtemos
Cada termo depende de uma única variável; portanto cada fração deve ser igual a uma constante (separação de variáveis). Colocamos constantes de separação positivas convenientemente:
com
Explicação: escolhemos os sinais de forma que as equações unidimensionais resultem em senos e cossenos (funções oscilatórias), apropriadas para estados ligados dentro da caixa.
Passo 3
Resolver as equações unidimensionais e impor as condições de contorno:
Cada equação é do tipo
Cada equação é do tipo
cuja solução geral é
. As paredes exigem
em
e
. Em
temos
, logo
. Em
deve valer
com
para função não-trivial, então
Portanto
Idêntico para
e
com números inteiros
. Assim as soluções separadas físicas são senos com modos quantizados.
Passo 4
Energia quantizada e forma das autofunções:
Substituindo em
,
Substituindo
As autofunções (antes de normalizar) são
Passo 5
Normalização das autofunções (como fazer na prova):
A normalização separa em produto de normais 1D porque são produto de funções de cada variável. A normalização 1D do modo em
é
, pois
A normalização separa em produto de normais 1D porque são produto de funções de cada variável. A normalização 1D do modo
Logo a constante de normalização 3D é o produto
. Portanto as autofunções normalizadas são
com
.
Passo 6
Como obter energias distintas e degenerescência (estratégia prática):
A energia depende somente de . Dois triplos
diferentes que resultem no mesmo
dão estados com a mesma energia (degenerescência). Há duas fontes de degenerescência:
A energia depende somente de
- permutações dos mesmos números (ex.:
); - diferentes combinações não relacionadas por permutação que dão mesmo
(ex.: caso especial que veremos no item (c)).
Na prática, para listar as menores energias distintas, liste os menores valores de
possíveis (com
) em ordem crescente; cada
dá uma energia
, onde definimos
Passo 7
Listagem das primeiras energias distintas e suas degenerescências:
Calcule para triplos pequenos e ordene os valores distintos. Os primeiros valores distintos de
são (mostrar também as triplas que os produzem):
Calcule
-
: só . Degenerescência . -
: triplas e permutações — duas entradas iguais → 3 permutações. . -
: triplas → 3 permutações. . -
: triplas → 3 permutações. . -
: → todas iguais → . -
: → todos diferentes → permutações, .
Logo os seis menores valores distintos de energia são
com
, e as degenerescências dadas acima.
Passo 8
Parte (c): degenerescência de
e por que é interessante:
Primeiro encontramos qual é , isto é, o 14º valor distinto de
. Listando os
distintos em ordem crescente (como fizemos para as primeiras), os primeiros 14
são:
Primeiro encontramos qual é
Portanto
. As triplas inteiras não ordenadas que dão
são
e
. Contando permutações:
-
tem duas entradas iguais 3 permutações; -
tem todas iguais 1 permutação.
Total de estados distintos compartilhandoé . Assim a degenerescência de é .
Por que é interessante: porque aqui há degenerescência não só por permutar os mesmos números, mas porque duas combinações distintas de quadrados inteiros (isto é,
e
) dão o mesmo valor de
. Isso chama-se uma degenerescência “acidental” (não apenas ligada à simetria de permutação) e é típica em dimensões maiores: diferentes triplos não relacionados por permutação podem ter a mesma soma de quadrados.
Resposta
(a)
(b) Defina
. Então
(degenerescência
),
(degenerescência
),
(degenerescência
),
(degenerescência
),
(degenerescência
),
(degenerescência
).
(c) A degenerescência de
é
. Isso ocorre porque
e existem as combinações
(3 permutações) e
(1 permutação), totalizando 4 estados; é interessante pois mostra degenerescência entre triplos não relacionados por permutação (mesma soma de quadrados obtida de maneiras diferentes).