Considere um oscilador RLC de frequência angular de ressonância omegao forçado por um gerador com frequência angular omega. Mostre que o ângulo phi é negativo se omega<omegao e positivo se omega>omegao.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador série RLC forçado por um gerador senoidal de frequência angular omega. Queremos mostrar que o ângulo de fase phi (entre tensão e corrente) é negativo se omega<omegao e positivo se omega>omegao, sabendo que omegao=1/raizLC. Para isso, vamos usar o conceito de impedância complexa de um circuito RLC em série e o cálculo do seu argumento.

Passo 2

A impedância de um circuito série RLC é
Z = R + jl(XL - XCr),
onde
XL = omega,L e XC = 1omega,C
Essas expressões vêm das reatâncias indutiva e capacitiva, respectivamente.

Passo 3

O ângulo de fase phi entre a tensão V e a corrente I é justamente o argumento de Z:
phi = arg Z = arctan!l(XL - XCRr)
Se XL-XC>0, a parte imaginária de Z é positiva e phi>0 (comportamento indutivo). Se XL-XC<0, phi<0 (comportamento capacitivo).

Passo 4

Vamos examinar o sinal de XL-XC:
XL - XC = omega,L - 1omega,C = omega^2L C - 1omega,C = Lomegal(omega^2-omegao^2r),
pois omegao^2=1/(LC).
  • Se omega<omegao, então omega^2-omegao^2<0, logo XL-XC<0 e phi<0.
  • Se omega>omegao, então omega^2-omegao^2>0, logo XL-XC>0 e phi>0.

Resposta

phi<0 quando omega<omegao e phi>0 quando omega>omegao.

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