Sejam VC m e VL m, respectivametne, as amplitudes de oscilação da voltagem no capacitor e no indutor de um oscilador RLC forçado. A frequência angular de ressonância do oscilador é omega0 e a frequência angular do gerador é omega. Mostre que VC m>VL m quando omega<omega0, VC m<VL m quando omega>omega0 e VC m=VL m quando omega=omega0.

Passo 1

O enunciado considera um circuito RLC forçado em regime estacionário, com amplitude do gerador Vm, frequência angular do gerador omega e frequência de ressonância omega0=1/raizLC. Precisamos mostrar como se comparam as amplitudes de tensão no capacitor, VC m, e no indutor, VL m, a partir das reatâncias desses elementos.

Passo 2

Em regime senoidal estacionário, a corrente de pico Im que percorre série RLC vale
Im=VmZ,
onde Z=raizR^2+l(XL-XCr)^2. Aqui a reatância indutiva é XL=omega L e a capacitiva é XC=1/(omega C).

Passo 3

As amplitudes de tensão nos elementos são dadas por
VL m=Im,XL e VC m=Im,XC
Como Im é comum, a razão entre elas independe de R e de Vm.

Passo 4

Calculemos a razão:
VC mVL m =XCXL =tfrac1omega Comega L =1omega^2LC =omega0^2omega^2

Passo 5

Agora basta comparar omega com omega0:
  • Se omega<omega0 então omega^2<omega0^2 e omega0^2/omega^2>1, logo VC m/VL m>1, isto é VC m>VL m.
  • Se omega>omega0 então omega^2>omega0^2 e omega0^2/omega^2<1, logo VC m<VL m.
  • Se omega=omega0 então omega0^2/omega^2=1, logo VC m=VL m.

Resposta

VC m>VL m quando omega<omega0, VC m<VL m quando omega>omega0 e VC m=VL m quando omega=omega0.

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