Considere ||: C([-pi, pi], R) [0, infty[ a norma que vem deste produto interno. Mostre que
E(a0, ldots, aN, b1, ldots, bN)=|f(x)-(a02+sumn=1^N(an sen(n x)+bn cos (n x)))|^2

Passo 1

O enunciado considera o espaço de funções contínuas em [-pi,pi] com valores reais, C([-pi,pi],R), dotado do produto interno
lang<= f,grang<==integral-pi^pif(x),g(x),dx
e da norma induzida
|h|=raizlang<= h,hrang<==raizintegral-pi^pih(x)^2,dx,
Queremos mostrar que o funcional de erro
E(a0,dots,aN,b1,dots,bN)
coincide com o quadrado dessa norma quando subtraímos de f a combinação linear
S(x)=a02+sumn=1^Nl(ansin(nx)+bncos(nx)r)

Passo 2

Por definição de norma induzida por produto interno, para qualquer hin C([-pi,pi],R) vale
|h|^2=lang<= h,hrang<= =integral-pi^pih(x)^2,dx

Passo 3

Basta tomar
h(x)=f(x)-S(x) com S(x)=a02+sumn=1^Nl(ansin(nx)+bncos(nx)r)
Então
|f-S|^2 =integral-pi^pil(f(x)-S(x)r)^2,dx,
que é exatamente a expressão de
El(a0,dots,aN,b1,dots,bNr)

Resposta

El(a0,dots,bNr) =gl|,f(x) -l(tfraca02+sumn=1^N(ansin(nx)+bncos(nx))r)gr|^2

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