Seja
o subespaço de
gerado por
. Mostre que
é uma base ortonormal de
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
gerado por
e pede para mostrar que
com
e pede para mostrar que
é uma base ortonormal de
.
Vamos usar o produto interno
Vamos usar o produto interno
para verificar primeiro a ortogonalidade e norma de cada par de geradores, depois contar dimensões.
Passo 2
Calculemos os produtos internos entre as funções básicas:
,
Passo 3
Das fórmulas acima vemos que
e
.
Logo, se definimos
Logo, se definimos
então para quaisquer
vale
,
i.e.\ são ortonormais.
i.e.\ são ortonormais.
Passo 4
O número de vetores em
é
, que coincide com a dimensão de
(pois geradores originais são
e lineares independentes). Como
é um conjunto ortonormal de
vetores em um espaço de dimensão
, ele é automaticamente uma base de
.