Seja W o subespaço de C([-pi, pi], R) gerado por 1, sen(x), ldots, sen(N x), cos (x), ldots, cos (N x). Mostre que B=1raiz2 pi, 1raizpi sen(x), ldots, 1raizpi sen(N x), 1raizpi cos (x), ldots, 1raizpi cos (N x) é uma base ortonormal de W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço Wsubset C([-pi,pi], R) gerado por
1,sin(x),dots,sin(Nx),cos(x),dots,cos(Nx)
e pede para mostrar que
B=e0,e1,dots,e2N com
e0 = 1raiz2pi, e2k-1 = 1raizpisin(kx), e2k = 1raizpicos(kx),;k=1,dots,N
é uma base ortonormal de W.
Vamos usar o produto interno
lang<= f,grang<==integral-pi^pif(x),g(x), dx
para verificar primeiro a ortogonalidade e norma de cada par de geradores, depois contar dimensões.

Passo 2

Calculemos os produtos internos entre as funções básicas:
,

Passo 3

Das fórmulas acima vemos que
lVert 1 rVert^2 = 2pi e lVert sin(nx) rVert^2 = lVert cos(nx) rVert^2 = pi.
Logo, se definimos
e0 = 1raiz2pi, e2k-1 = 1raizpi sin(kx), e2k = 1raizpi cos(kx),
então para quaisquer i,j in 0,1,dots,2N vale
lang<= ei, ej rang<= = de<aij,
i.e.\ são ortonormais.

Passo 4

O número de vetores em B é 2N+1, que coincide com a dimensão de W (pois geradores originais são 2N+1 e lineares independentes). Como B é um conjunto ortonormal de 2N+1 vetores em um espaço de dimensão 2N+1, ele é automaticamente uma base de W.

Resposta

B é ortonormal (cada par satisfaz lang<= ei,ejrang<==de<aij) e contém 2N+1 vetores em um espaço de dimensão 2N+1. Portanto, B é uma base ortonormal de W.

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