Exercício 3. (Guidorizzi seção 40.1 exercícios 2) Sejam
e
duas parametrizações de classe
com mesma imagem e
um campo vetorial de classe
definido num aberto que contém a superfície definida pelas parametrizações. Mostre que
(Dica: Sejam
as variáveis de
as variáveis de
. Prove e use a relação
).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície é independente da parametrização escolhida. Temos duas parametrizações de classe
,
e
, com a mesma imagem e orientações compatíveis, e queremos provar
Para isso usaremos a expressão de fluxo em coordenadas, a regra da cadeia para produtos vetoriais e a mudança de variáveis em integrais duplas.
Passo 2
A definição de fluxo pela parametrização
em um domínio
é
Como as imagens coincidem, existe uma bijeção
tal que
Passo 3
Pela regra da cadeia para derivadas parciais e produto vetorial obtém-se a identidade sugerida:
onde
é o Jacobiano da mudança de variáveis.
Passo 4
Substituindo no fluxo de
e fazendo a mudança de variáveis
, temos
A igualdade da última integral com
segue exatamente da definição de fluxo por
.
Passo 5
Portanto, concluímos que
mostrando a invariância do fluxo sob reparametrização.