Exercício 3. (Guidorizzi seção 40.1 exercícios 2) Sejam sigma1: U subset R^2 R^3 e sigma2: U subset R^2 R^3 duas parametrizações de classe C^1 com mesma imagem e F um campo vetorial de classe C^1 definido num aberto que contém a superfície definida pelas parametrizações. Mostre que
integral duplasigma1 F n d S=integral duplasigma2 F n d S
(Dica: Sejam (u, v) as variáveis de sigma1 e(s, t) as variáveis de sigma2. Prove e use a relação partial sigma1partial u times partial sigma1partial v=partial(s, t)partial(u, v) partial sigma2partial s times partial sigma2partial t ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície é independente da parametrização escolhida. Temos duas parametrizações de classe C^1,
sigma1(u,v) e sigma2(s,t), com a mesma imagem e orientações compatíveis, e queremos provar
integral duplasigma1Fcdot n,dS ;=;integral duplasigma2Fcdot n,dS
Para isso usaremos a expressão de fluxo em coordenadas, a regra da cadeia para produtos vetoriais e a mudança de variáveis em integrais duplas.

Passo 2

A definição de fluxo pela parametrização sigma1(u,v) em um domínio UsubsetR^2 é
integral duplasigma1Fcdot n,dS =integral duplaUFl(sigma1(u,v)r);l(tfracpartialsigma1partial utimestfracpartialsigma1partial vr);du,dv
Como as imagens coincidem, existe uma bijeção g:Uto VsubsetR^2 tal que
(s,t)=g(u,v), sigma1(u,v)=sigma2l(g(u,v)r)

Passo 3

Pela regra da cadeia para derivadas parciais e produto vetorial obtém-se a identidade sugerida:
tfracpartialsigma1partial utimestfracpartialsigma1partial v =det!l(Dg(u,v)r);l(tfracpartialsigma2partial stimestfracpartialsigma2partial tr),
onde det(Dg)=partial(s,t)partial(u,v) é o Jacobiano da mudança de variáveis.

Passo 4

Substituindo no fluxo de sigma1 e fazendo a mudança de variáveis (u,v)mapsto(s,t), temos
integral duplaUFl(sigma2(s,t)r), det(Dg),l(tfracpartialsigma2partial stimestfracpartialsigma2partial tr),du,dv =integral duplaVFl(sigma2(s,t)r);l(tfracpartialsigma2partial stimestfracpartialsigma2partial tr),ds,dt
A igualdade da última integral com integral duplasigma2Fcdot n,dS segue exatamente da definição de fluxo por sigma2.

Passo 5

Portanto, concluímos que
integral duplasigma1Fcdot n,dS =integral duplasigma2Fcdot n,dS,
mostrando a invariância do fluxo sob reparametrização.

Resposta

boxedintegral duplasigma1Fcdot n,dS ;=;integral duplasigma2Fcdot n,dS

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