Seja
a função definida como
Mostre que esta função define um produto interno em
é contínua })
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a aplicação
em
satisfaz as três propriedades de um produto interno real:
- linearidade no primeiro argumento;
- simetria;
- positividade definida.
Passo 2
Mostramos a linearidade em
. Sejam
e
. Então
Pela linearidade do integral,
ou seja
Passo 3
Mostramos a simetria. Para quaisquer
, como a multiplicação em
é comutativa,
Passo 4
Mostramos positividade definida. Para todo
,
pois
. Resta ver que
implica
. Se por absurdo existisse
com
, pela continuidade de
haveria um intervalo em que
é estritamente positiva, forçando
. Logo
só se
para todo
.
Resposta
Como todas as propriedades de produto interno foram verificadas, concluímos que
é de fato um produto interno em
.