Seja lang<=,rang<=: C([-pi, pi], R) times C([-pi, pi], R) R a função definida como
lang<= f, grang<==integral-pi^pi f(x) g(x) d x
Mostre que esta função define um produto interno em C([-pi, pi], R)=f:[-pi, pi] R ; f é contínua })

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a aplicação
lang<= f,grang<= = integral-pi^pi f(x),g(x),dx
em C([-pi,pi],R) satisfaz as três propriedades de um produto interno real:
  1. linearidade no primeiro argumento;
  2. simetria;
  3. positividade definida.

Passo 2

Mostramos a linearidade em f. Sejam alpha,betainR e f1,f2,gin C([-pi,pi],R). Então
lang<= alpha f1 + beta f2,,grang<= = integral-pi^pi l(alpha f1(x) + beta f2(x)r),g(x),dx
Pela linearidade do integral,
integral-pi^pi l(alpha f1(x) + beta f2(x)r),g(x),dx = alpha integral-pi^pi f1(x),g(x),dx + beta integral-pi^pi f2(x),g(x),dx,
ou seja
lang<= alpha f1 + beta f2,,grang<= = alpha,lang<= f1,grang<= + beta,lang<= f2,grang<=

Passo 3

Mostramos a simetria. Para quaisquer f,gin C([-pi,pi],R), como a multiplicação em R é comutativa,
lang<= f,grang<= = integral-pi^pi f(x),g(x),dx = integral-pi^pi g(x),f(x),dx = lang<= g,frang<=

Passo 4

Mostramos positividade definida. Para todo fin C([-pi,pi],R),
lang<= f,frang<= = integral-pi^pi f(x)^2,dx >= 0,
pois f(x)^2>=0. Resta ver que lang<= f,frang<= = 0 implica fequiv0. Se por absurdo existisse x0 com f(x0)neq0, pela continuidade de f haveria um intervalo em que f(x)^2 é estritamente positiva, forçando integral f^2>0. Logo integral f^2=0 só se f(x)=0 para todo x.

Resposta

Como todas as propriedades de produto interno foram verificadas, concluímos que
lang<= f,grang<= = integral-pi^pi f(x),g(x),dx
é de fato um produto interno em C([-pi,pi],R).

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