Considere
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle+|2\rangle)
e o operador
A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 0 & 4 \end{array}\right)
Calcule o valor esperado
\langle A\rangle

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • O estado quântico é |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|1\rangle+|2\rangle\big).
  • O operador hermitiano (observável) é a matriz diagonal A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.
  • A pergunta: calcular o valor esperado \langle A\rangle no estado |\psi\rangle, isto é, calcular \langle\psi|A|\psi\rangle.
Observação importante que vou usar sem perguntar: assumo que |1\rangle e |2\rangle são vetores de base ortonormais (a base canônica), ou seja |1\rangle=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e |2\rangle=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Converter o ket |\psi\rangle para representação vetorial na base canônica:
|1\rangle=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad |2\rangle=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}+\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Verificar rapidamente que |\psi\rangle está normalizado (bom hábito):
a norma ao quadrado é \langle\psi|\psi\rangle. Primeiro escrevemos o bra como conjugado transposto:
\langle\psi|=\left(|\psi\rangle\right)^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}.
Então
\langle\psi|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}(1+1)=1.
Portanto o estado está normalizado, tudo certo.]

Passo 4

Escrever a definição do valor esperado que vamos usar e explicar cada termo:
\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle.
Aqui:
  • |\psi\rangle é o vetor coluna do estado.
  • A é a matriz do operador (aqui diagonal).
  • \langle\psi| é o bra (linha) obtido como conjugado transposto de |\psi\rangle.
    A expressão \langle\psi|A|\psi\rangle é um número complexo (no caso real porque A é hermitiano e o estado é normalizado) que representa a média dos resultados de medida de A no estado |\psi\rangle.

Passo 5

Calcular primeiro A|\psi\rangle. Usamos multiplicação de matriz por vetor:
A|\psi\rangle =\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}2\cdot 1 + 0\cdot 1\\[4pt]0\cdot 1 + 4\cdot 1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora calculamos \langle\psi|\big(A|\psi\rangle\big), ou seja o produto escalar da linha \langle\psi| pela coluna A|\psi\rangle:
\langle\psi|A|\psi\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\big(1\cdot 2 + 1\cdot 4\big) =\frac{1}{2}\cdot 6 =3.]

Passo 7

Interpretação alternativa (mesma conta, forma diferente): nas medições de A os autovalores são 2 (associado a |1\rangle) e 4 (associado a |2\rangle). No estado |\psi\rangle as probabilidades de obter cada autovalor são
P(2)=|\langle 1|\psi\rangle|^2=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2=\frac{1}{2}, \qquad P(4)=|\langle 2|\psi\rangle|^2=\frac{1}{2}.
O valor esperado é a média ponderada:
\langle A\rangle = 2\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\frac{1}{2}=\frac{2+4}{2}=3,
confirmando o resultado acima. (Essa é uma forma física e rápida de ver o mesmo cálculo.)

Resposta

3

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