O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
O estado quântico é |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|1\rangle+|2\rangle\big).
O operador hermitiano (observável) é a matriz diagonal A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.
A pergunta: calcular o valor esperado \langle A\rangle no estado |\psi\rangle, isto é, calcular \langle\psi|A|\psi\rangle.
Observação importante que vou usar sem perguntar: assumo que |1\rangle e |2\rangle são vetores de base ortonormais (a base canônica), ou seja |1\rangle=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e |2\rangle=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.]
Passo 2
Converter o ket |\psi\rangle para representação vetorial na base canônica:
Verificar rapidamente que |\psi\rangle está normalizado (bom hábito):
a norma ao quadrado é \langle\psi|\psi\rangle. Primeiro escrevemos o bra como conjugado transposto:
Escrever a definição do valor esperado que vamos usar e explicar cada termo:
\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle.
Aqui:
|\psi\rangle é o vetor coluna do estado.
A é a matriz do operador (aqui diagonal).
\langle\psi| é o bra (linha) obtido como conjugado transposto de |\psi\rangle.
A expressão \langle\psi|A|\psi\rangle é um número complexo (no caso real porque A é hermitiano e o estado é normalizado) que representa a média dos resultados de medida de A no estado |\psi\rangle.
Passo 5
Calcular primeiro A|\psi\rangle. Usamos multiplicação de matriz por vetor:
Interpretação alternativa (mesma conta, forma diferente): nas medições de A os autovalores são 2 (associado a |1\rangle) e 4 (associado a |2\rangle). No estado |\psi\rangle as probabilidades de obter cada autovalor são